Question

8．已知雙曲線C：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$的右焦點(diǎn)為F，以F為圓心和雙曲線的漸近線相切的圓與雙曲線的一個(gè)交點(diǎn)為M，且MF與雙曲線的實(shí)軸垂直，則雙曲線C的離心率為（　�。�

• A． $\frac{{\sqrt{5}}}{2}$
• B． $\sqrt{5}$
• C． $\sqrt{2}$
• D． 2

Answer 1

分析 設(shè)F（c，0），漸近線方程為y=$\frac{a}$x，運(yùn)用點(diǎn)到直線的距離公式可得焦點(diǎn)到漸近線的距離為b，即為圓F的半徑，再由MF垂直于x軸，可得a=b，運(yùn)用a，b，c的關(guān)系和離心率公式，即可得到所求值．

解答 解：設(shè)F（c，0），漸近線方程為y=$\frac{a}$x，
可得F到漸近線的距離為$\frac{bc}{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}$=b，
即有圓F的半徑為b，
令x=c，可得y=±b$\sqrt{\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}-1}$=±$\frac{^{2}}{a}$，
由題意可得$\frac{^{2}}{a}$=b，
即a=b，c=$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$=$\sqrt{2}$a，
即離心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{2}$，
故選C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的離心率的求法，注意運(yùn)用點(diǎn)到直線的距離公式，以及直線和圓相切的條件，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．