Question

（2008•閔行區(qū)二模）已知正三棱錐P-ABC的底面邊長(zhǎng)為2

3

，體積為3

5

，則底面△ABC的中心O到側(cè)面PAB的距離是

15

4

．

Answer 1

分析：由已知，可求出側(cè)面PAB的面積，利用等體積法求出C到側(cè)面PAB的距離，它是底面△ABC的中心O到側(cè)面PAB的距離的3倍，利用此關(guān)系問(wèn)題獲解．

解答：解：如圖設(shè)O為底面△ABC的中心，連接PO，連接CO并延長(zhǎng)交AB于D，由正棱錐的性質(zhì)，PO⊥底面△ABC，D為AB中點(diǎn)．CD=3
正△ABC的面積S=

3

4

AB2=3

3

，∵V=

1

3

S×PO=3

5

∴PO=

15

．OD=

1

3

CD=1，∴S△PAB=

1

2

AB×PD=4

3

，設(shè)C到面PAB的距離為h′，由VP-ABC=VC-PAB得

1

3

×4

3

h′=3

5

h′=

3 15

4

．又OD=

1

3

CD，∴O到側(cè)面PAB的距離是

1

3

h′=

15

4

．
故答案為：

15

4

點(diǎn)評(píng)：本題考查空間點(diǎn)到平面的距離，利用等體積法進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解．等體積是解決三棱錐中點(diǎn)面距的另一常見(jiàn)方法，此法的優(yōu)點(diǎn)在于不必作出垂線段．