Question

已知x，y均為正實數(shù)，且

1

2+x

+

1

2+y

=

1

3

，求x+y的最小值．

Answer 1

分析：由

1

2+x

+

1

2+y

=

1

3

和要求的x+y均為和式，不能直接用基本不等式，可將x+y寫成x+2+y+2-4形式，再乘以

1

2+x

+

1

2+y

=

1

3

，創(chuàng)造性的應(yīng)用基本不等式；也可以用消元思想，解出x或y，轉(zhuǎn)化成函數(shù)求最值．

解答：解：x+2+y+2=3（

1

2+x

+

1

2+y

）（x+2+y+2）=3(2+

2+y

2+x

+

2+x

2+y

)≥3(2+2)=12，當(dāng)且僅當(dāng)x=y時“=”成立．
所以x+y的最小值為12-4=8

點(diǎn)評：本題考查基本不等式求最值，與倒數(shù)和、和有關(guān)的最值問題，常用乘一項，再除一項，構(gòu)造乘積是常數(shù)的方法，也可用消元法．