Question

三棱柱ABC-A′B′C′中，若AA′⊥底面ABC，D是CC′的中點(diǎn)，AC=BC，AB=AA′，二面角D-AB-C的大小為60°．且點(diǎn)E在線段AB上，CE⊥BD，試證明
（1）BE=2EA；
（2）求二面角A′-BD-A的余弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：棱柱的結(jié)構(gòu)特征

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：首先，建立空間直角坐標(biāo)系，然后，結(jié)合條件CE⊥BD求解．

解答： 證明：如下圖所示：以邊AB的中點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，以有向線段AB所在直線為x軸，
以有向線段OC所在直線為y軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖示：

設(shè)AB=2b，CA=CB=a，則
∠DOC=60°，
∴tan60°=

DC

OC

=

b

a2-b2

=

3

，
∴b=

3

2

a，
∴B（

3

2

a，0，0），D（0，

1

2

a，

3

2

a），C（0，

1

2

a，0），
設(shè)E（m，0，0），
∴

CE

=(m，-

1

2

a，0)，

BD

=(-

3

2

a，

1

2

a，

3

2

a)，
∵CE⊥BD，
∴

CE

•

BD

=0，
∴-

3

2

am-

1

4

a2=0，
∴m=-

3

6

a，
∵b=

3

2

a，
∴m=-

1

3

b，
∴BE=2EA．

點(diǎn)評：本題重點(diǎn)考查了棱柱的結(jié)構(gòu)特征、空間中點(diǎn)線面的位置關(guān)系、二面角等知識，屬于中檔題．