Question

19．已知橢圓一焦點(diǎn)與短軸兩端連線的夾角為90°，則橢圓的離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

Answer 1

分析 根據(jù)題意，設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1  （a＞b＞0），作出圖形分析可得AC=$\sqrt{2}$OC，即a=$\sqrt{2}$c，由離心率計(jì)算公式計(jì)算可得答案．

解答 解：根據(jù)題意，設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1  （a＞b＞0），
如圖：OA=b，OC=c，∠ACB=90°，
分析可得AC=$\sqrt{2}$OC，即a=$\sqrt{2}$c，
則其離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
故答案為：$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的簡單幾何性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是由題干條件得到b、c的關(guān)系．