Question

已知等差數(shù)列{a_n}的公差d不等于0，S_n是其前n項(xiàng)和，給出下列命題：
①給定n（n≥2，且n∈N^*），對(duì)于一切k∈N^*（k＜n），都有a_n-k+a_n+k=2a_n成立；
②存在k∈N^*，使得a_k-a_k+1與a_2k+1-a_2k-3同號(hào)；
③若d＞0．且S₃=S₈，則S₅與S₆都是數(shù)列{S_n}中的最小項(xiàng)
④點(diǎn)（1，

S1

1

），（2，

S2

2

），（3，

S3

3

），…，（n，

Sn

n

）（n∈N^*），…，在同一條直線上．
其中正確命題的序號(hào)是

 

．（把你認(rèn)為正確的命題序號(hào)都填上）

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用,等差數(shù)列的性質(zhì)

專(zhuān)題：等差數(shù)列與等比數(shù)列,簡(jiǎn)易邏輯

分析：由等差中項(xiàng)的性質(zhì)，即可判斷①的正誤；
由等差數(shù)列的定義，即可判斷②的正誤；
由求和公式，推出a₆=0，得a₁＜0，d＞0，即可判斷③的正確；
要證明這些點(diǎn)都在一條直線上，就要找出這些點(diǎn)都過(guò)一點(diǎn)和斜率固定的直線方程，得到每一個(gè)點(diǎn)與第一個(gè)點(diǎn)所求的斜率為定值，即可判斷④的正誤；

解答： 解：對(duì)于①，由等差中項(xiàng)的性質(zhì)，可得給定n，對(duì)于一切k∈N₊（k＜n），都有a_n-k+a_n+k=2a_n，故①正確；
對(duì)于②，a_k-a_k+1和a_k-a_k-1符號(hào)相反，故②不正確；
對(duì)于③，當(dāng)d＞0，且S₃=S₈時(shí)，可得a₁＜0，a₄+a₅+a₆+a₇+a₈=0，即5a₆=0，a₆=0，
則S₅和S₆都是{S_n}中的最小項(xiàng)，故③正確；
對(duì)于④，因?yàn)榈炔顢?shù)列{a_n}的公差d≠0，所以S_k=ka₁+

k(k-1)d

2

，

SK

k

=a₁+

k-1

2

d
當(dāng)k≥2（k∈N）時(shí)，

Sk k S1 1

k-1

=

a1+ k-1 2 d-a1

k-1

=

1

2

d（d為常數(shù)），
所以點(diǎn)（1，

S1

1

），（2，

S2

2

），（3，

S3

3

），…，（n，

Sn

n

）（n∈N^*），…，在同一條直線上，故④正確．
故答案為：①③④．

點(diǎn)評(píng)：本題考查等差數(shù)列的定義、通項(xiàng)和求和，以及等差數(shù)列的等差數(shù)列的中項(xiàng)的性質(zhì)和求和的性質(zhì)，以及等差數(shù)列的單調(diào)性及最值，屬于中檔題．