Question

4．（1）過(guò)點(diǎn)P（0，1）作直線l使它被直線l₁：2x+y-8=0和l₂：x-3y+10=0截得的線段被點(diǎn)P平分，求直線l的方程．
（2）光線沿直線l₁：x-2y+5=0射入，遇直線l：3x-2y+7=0后反射，求反射光線所在的直線方程．

Answer 1

分析 （1）設(shè)l與l₁的交點(diǎn)為A（a，8-2a），則根據(jù)點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)P的對(duì)稱點(diǎn)B（-a，2a-6）在l₂上，求得a的值．再根據(jù)再根據(jù)點(diǎn)A、P的坐標(biāo)，用兩點(diǎn)式求得直線l的方程．
（2）先求得反射點(diǎn)M的坐標(biāo)，在直線l₁上取一點(diǎn)N（-5，0），設(shè)點(diǎn)N關(guān)于直線l：3x-2y+7=0的對(duì)稱點(diǎn)K，求得K的坐標(biāo)，用兩點(diǎn)式求得反射光線所在的直線（即直線MK）的方程．

解答 解：（1）過(guò)點(diǎn)P（0，1）作直線l使它被直線l₁：2x+y-8=0和l₂：x-3y+10=0截得的線段被點(diǎn)P平分，
設(shè)l與l₁的交點(diǎn)為A（a，8-2a），則點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)P的對(duì)稱點(diǎn)B（-a，2a-6）在l₂上，
∴-a-3（2a-6）+10=0，求得a=4，故A（4，0）．
再根據(jù)點(diǎn)A、P的坐標(biāo)，求得直線l的方程為$\frac{y-1}{0-1}$=$\frac{x-0}{4-0}$，即x+4y-4=0．
（2）由$\left\{\begin{array}{l}{x-2y+5=0}\\{3x-2y+7=0}\end{array}\right.$，求得$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=2}\end{array}\right.$，可得反射點(diǎn)M（-1，2）．
在直線l₁：x-2y+5=0上取一點(diǎn)N（-5，0），設(shè)點(diǎn)N關(guān)于直線l：3x-2y+7=0的對(duì)稱點(diǎn)K（b，c），
由$\left\{\begin{array}{l}{\frac{c}{b+5}•\frac{3}{2}=-1}\\{3•\frac{b-5}{2}-2•\frac{c}{2}+7=0}\end{array}\right.$，求得$\left\{\begin{array}{l}{b=-\frac{17}{13}}\\{c=-\frac{32}{13}}\end{array}\right.$，可得點(diǎn)K（-$\frac{17}{13}$，-$\frac{32}{13}$），且點(diǎn)K在反射光線所在的直線上．
再根據(jù)點(diǎn)M、K的坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)式求得反射光線所在的直線方程為$\frac{y+\frac{32}{13}}{2-（-\frac{32}{13}）}$=$\frac{x+\frac{17}{13}}{-1+\frac{17}{13}}$，
化簡(jiǎn)為29x-2y+33=0．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查反射定理的應(yīng)用，用兩點(diǎn)式求直線的方程，求一個(gè)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)，屬于中檔題．