Question

如圖，雙曲線C：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的左、右焦點(diǎn)F₁（-c，0）、F₂（c，0），A為雙曲線C右支上一點(diǎn)，且|AF₁|=2c，AF₁與y軸交于點(diǎn)B，若F₂B是∠AF₂F₁的角平分線，則雙曲線C的離心率是（　�。�

• A、

  3+ 3

  2

• B、1+

  3

• C、

  3+ 5

  3

• D、

  3+ 5

  2

Answer 1

考點(diǎn)：雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：計(jì)算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：運(yùn)用等腰三角形的性質(zhì)，以及三角形的內(nèi)角和定理，可得|BF₁|=|BF₂|，∠BF₂F₁=36°，再由雙曲線的定義可得|AF₂|=2c-2a，再由內(nèi)角平分線定理可得

2a

2c-2a

=

2c-2a

2c

，化簡(jiǎn)整理，結(jié)合離心率公式解方程，即可得到．

解答： 解：由F₂B是∠AF₂F₁的角平分線，O為F₁F₂的中點(diǎn)，
則|BF₁|=|BF₂|，
∠BF₁F₂=∠BF₂F₁=∠BF₂A，設(shè)為α．
又|AF₁|=2c，則∠A=2α，
則∠A+∠AF₁F₂+∠AF₂F₁=5α=180°，
即有α=36°，
∠ABF₂=2α=72°=∠A，
即有|BF₂|=|AF₂|，
由雙曲線的定義可得|AF₁|-|AF₂|=2a，
則|AF₂|=2c-2a，|AB|=2c-（2c-2a）=2a，
由F₂B是∠AF₂F₁的角平分線，可得

|AB|

|BF1|

=

|AF2|

|F1F2|

，
即有

2a

2c-2a

=

2c-2a

2c

，
即有ac=（c-a）²，
即c²-3ac+a²=0，
由e=

c

a

，可得e²-3e+1=0，
解得e=

3+ 5

2

或

3- 5

2

，
由于e＞1，則e=

3+ 5

2

．
故選：D．

點(diǎn)評(píng)：本題考查雙曲線的定義、方程和性質(zhì)，主要考查離心率的求法，運(yùn)用等腰三角形的性質(zhì)和內(nèi)角平分線定理是解題的關(guān)鍵．