Question

8．已知偶函數(shù)f（x）在（-∞，0]上滿足：當(dāng)x₁，x₂∈（-∞，0]且x₁≠x₂時(shí)，總有$\frac{{{x_1}-{x_2}}}{{f（{x_1}）-f（{x_2}）}}＜0$，則不等式f（x-1）≥f（x）的解集為$\{x∈R|x≤\frac{1}{2}\}$．

Answer 1

分析 由題意可得f（x）在（-∞，0]上單調(diào)遞減，故它在（0，+∞）上單調(diào)遞增，故由由不等式f（x-1）≥f（x），可得|x-1|≥|x|，

解答 解：∵偶函數(shù)f（x）在（-∞，0]上滿足：當(dāng)x₁，x₂∈（-∞，0]且x₁≠x₂時(shí)，總有$\frac{{{x_1}-{x_2}}}{{f（{x_1}）-f（{x_2}）}}＜0$，
故f（x）在（-∞，0]上單調(diào)遞減，故它在（0，+∞）上單調(diào)遞增．
由不等式f（x-1）≥f（x），可得|x-1|≥|x|，∴（x-1）²≥x²，∴x≤$\frac{1}{2}$，
故答案為：$\{x∈R|x≤\frac{1}{2}\}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．