Question

16．已知在等比數(shù)列{a_n}中，a₁+2a₂=1，a${\;}_{3}^{2}$=2a₂a₅．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)b_n=log₂a₁+log₂a₂+…+log₂a_n，求數(shù)列{$\frac{1}{_{n}}$}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

分析 （ I）設(shè)數(shù)列{a_n}的公比為q，從而由a${\;}_{3}^{2}$=2a₂a₅及a₁+2a₂=1可解得q=$\frac{1}{2}$，a₁=$\frac{1}{2}$，從而解得；
（ II）化簡(jiǎn)b_n=log₂a₁+log₂a₂+…+log₂a_n=-（1+2+3+…+n）=-$\frac{n（n+1）}{2}$，故$\frac{1}{_{n}}$=-2（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），從而求和．

解答 解：（ I）設(shè)數(shù)列{a_n}的公比為q，
由a${\;}_{3}^{2}$=2a₂a₅得（a₁q²）²=2a₁q•a₁•q⁴，
∴q=$\frac{1}{2}$，
由a₁+2a₂=1得a₁=$\frac{1}{2}$．
故數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為a_n=$\frac{1}{{2}^{n}}$．
（ II）b_n=log₂a₁+log₂a₂+…+log₂a_n=-（1+2+3+…+n）=-$\frac{n（n+1）}{2}$，
∴$\frac{1}{_{n}}$=-$\frac{2}{n（n+1）}$=-2（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），
∴S_n=-2[（1-$\frac{1}{2}$）+（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$）+…+（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$）]=-$\frac{2n}{n+1}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等比數(shù)列的性質(zhì)的應(yīng)用及對(duì)數(shù)運(yùn)算的應(yīng)用，同時(shí)考查了裂項(xiàng)求和法應(yīng)用，屬于中檔題．