Question

已知f（x）=

1

3

x³-2ax²-3x（a∈R）．
（I）當|a|≤

1

2

時，求證f（x）在（-1，1）內(nèi)是減函數(shù)；
（Ⅱ）若y=f（x）在（-1，1）內(nèi)有且只有一個極值點，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）首先對于函數(shù)求導(dǎo)，得到導(dǎo)函數(shù)是一個二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)對于導(dǎo)函數(shù)的符號進行驗證，得到結(jié)果．
（II）設(shè)出極值點，根據(jù)函數(shù)在所給的區(qū)間上只有一個極值點，對于函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的符號進行討論，得到結(jié)果．

解答：解：（I）∵f（x）=

1

3

x³-2ax²-3x
∴f^′（x）=x²-4ax-3
∵|a|≤

1

2

，
∴f^′（-1）≤0，f^′（1）≤0
∵f^′（x）的圖象開口向上，
∴在（-1，1）內(nèi)．f（x）是一個減函數(shù)．
（II）設(shè)極值點x₀，
∴f（x）在（-1，x₀）上是增函數(shù)，在（x₀，1）上是減函數(shù)，
∴a＞

1

2

時，f（x）在（-1，1）上有一個極值點，且是極大值點，
a＜-

1

2

時，f（x）在（-1，1）上有一個極小值點，
-

1

2

≤a≤

1

2

，f（x）在（-1，1）上沒有極值點，
總上可知的取值范圍是（-∞，-

1

2

)∪(

1

2

，+∞)

點評：本題考查函數(shù)的極值和單調(diào)性的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是對于字母系數(shù)a的討論，注意討論的過程中做到不重不漏．