Question

設(shè)數(shù)列{a_n}滿足a_n+1=a_n²-na_n+1，n=1，2，3，…，當(dāng)a₁=2時，求a₂，a₃，a₄，并由此猜想出a_n的一個通項公式并用數(shù)學(xué)歸納法證明．

Answer 1

解：根據(jù)題目給出的關(guān)系式可得：
n=1，a₂=a₁²-a₁+1=2²-2+1=3，
n=2，a₃=a₂²-2a₂+1=3²-2×3+1=4，
n=3，a₄=a₃²-3a₃+1=4²-3×4+1=5，
由此可以猜測a_n=n+1．
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明
當(dāng)n=1時，a2=2=1+1，成立．
假設(shè)當(dāng)n=k（k≥2）時成立．即a_k=k+1，
那么當(dāng)n=k+1時，a_k+1=a_k²-ka_n+1=（k+1）²-k（k+1）+1=k+2=（k+1）+1
即當(dāng)n=k+1時也成立．
所以a_n=n+1．
分析：在遞推公式中，依次令n=1，2，3代入式子計算，求a₂，a₃，a₄，由特殊值的規(guī)律推導(dǎo)出一般關(guān)系式為a_n=n+1． 再按照數(shù)學(xué)歸納法步驟進(jìn)行證明．
點(diǎn)評：本題考查了數(shù)列的遞推公式，數(shù)學(xué)歸納法，考查計算、推理與證明的能力．