Question

12、對于函數(shù) ①f（x）=lg（|x-2|+1），②f（x）=（x-2）²，③f（x）=cos（x+2）．給出如下三個(gè)命題：
命題甲：f（x+2）是偶函數(shù)；
命題乙：f（x）在區(qū)間（-∞，2）上是減函數(shù)，在區(qū)間（2，+∞）上是增函數(shù)；
命題丙：f（x+2）-f（x）在（-∞，+∞）上是增函數(shù)．
能使命題甲、乙、丙均為真的所有函數(shù)的序號是

②

．

Answer 1

分析：要判斷題目中給出的三個(gè)函數(shù)中，使命題甲、乙、丙均為真的所有函數(shù)的序號，我們可將題目中的函數(shù)一一代入命題甲、乙、丙進(jìn)行判斷，只要有一個(gè)命題為假，即可排除，最好不難得到最終的答案．

解答：解：①若f（x）=lg（|x-2|+1）則：
f（x+2）是偶函數(shù)，此時(shí)命題甲為真；
f（x）在（-∞，2）上是減函數(shù)，在（2，+∞）上是增函數(shù)；此時(shí)命題乙為真；
但f（x+2）-f（x）在（-∞，+∞）上不是單調(diào)遞增的；此時(shí)命題丙為假．
②f（x）=（x-2）²則：
f（x+2）是偶函數(shù)，此時(shí)命題甲為真；
f（x）在（-∞，2）上是減函數(shù)，在（2，+∞）上是增函數(shù)；此時(shí)命題乙為真；
但f（x+2）-f（x）=4x-4在（-∞，+∞）上是增函數(shù)的；此時(shí)命題丙為真．
③若f（x）=cos（x+2），則：
f（x+2）是不偶函數(shù)，此時(shí)命題甲為假；
f（x）在（-∞，2）上不是減函數(shù)，在（2，+∞）上不是增函數(shù)；此時(shí)命題乙為假；
但f（x+2）-f（x）在（-∞，+∞）上不是單調(diào)遞增的；此時(shí)命題丙為假．
故答案為：②．

點(diǎn)評：本題綜合的考查了多個(gè)函數(shù)的性質(zhì)，在處理的時(shí)候，我們根據(jù)各種函數(shù)的性質(zhì)，對題目中的結(jié)論逐一進(jìn)行判斷易得結(jié)論，熟練掌握各種基本函數(shù)的性質(zhì)，包括單調(diào)性、奇偶性、周期性、對稱性等，是解決本題的關(guān)鍵．