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11.已知橢圓C:x2a2+y22=1(a>b>0)的左右焦點分別為F1,F(xiàn)2,且經(jīng)過點P(0,5),離心率為23,過點F1的直線l與直線x=4交于點A
(I)  求橢圓C的方程;
(II) 當線段F1A的垂直平分線經(jīng)過點F2時,求直線l的方程;
(III)點B在橢圓C上,當OA⊥OB,求線段AB長度的最小值.

分析 (Ⅰ)由題意可得{b=5e=ca=23a2=b2+c2.解得即可,
(Ⅱ)法一:設A(4,y),F(xiàn)1(-2,0),根據(jù)線段F1A的垂直平分線經(jīng)過點F2得到|F1F2|=|F2A|,代值計算即可y的值,即可求出直線方程,
法二:設過點F1(-2,0)的直線l的斜率為k,則直線l的方程為y=k(x+2),再設AF1的中點P(x0,y0).根據(jù)PF2⊥F1A,即可求出k的值,
(Ⅲ)點B在橢圓C上,設B(m,n),n∈[-5,0)∪(0,5],A(4,y),根據(jù)兩點之間的距離公式,化簡整理,再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出最值.

解答 解:( I)由{b=5e=ca=23a2=b2+c2.解得{a=3c=2.
所以橢圓C的方程為x29+y25=1.
( II)法一:設A(4,y),F(xiàn)1(-2,0),
因為線段F1A的垂直平分線經(jīng)過點F2
所以|F1F2|=|F2A|.
由2c=4=422+y2,解得y=±23
所以直線l的方程為y=±33(x+2).
( II)法二
設過點F1(-2,0)的直線l的斜率為k,顯然k存在.
則直線l的方程為y=k(x+2).
所以A(4,6k).
設AF1的中點P(x0,y0).
x0=2+42=1y0=0+6k2=3k
所以P(1,3k).
因為PF2⊥F1A,
所以3k012k=1
所以k=±33
所以直線l的方程為y=±33(x+2).
( III)點B在橢圓C上,設B(m,n),n∈[-5,0)∪(0,5],A(4,y).
因為OA⊥OB,
所以OAOB=0,即4m+ny=0.
因為點B在橢圓C上,
所以m29+n25=1,
所以|AB|2=(m-4)2+(n-y)2=m2-8m+16+n2-2ny+y2=m2-8m+16+n2+8m+y2,
=m2+16+n2+y2=m2+16+n2+(4mn2
=9(1-n25)+16+n2+16×91n25n2,
=144n2-4n25-195
設t=n2,t∈(0,5]
gt=144t4t5195
因為gt=144t2450,
所以g(t)在(0,5]上單調(diào)遞減.
所以當t=5,即n=±5時,|AB|min=21

點評 本題考查橢圓的方程和性質(zhì),主要考查橢圓的離心率和方程的運用,以及兩點的距離公式和函數(shù)的應用,考查運算能力,屬于中檔題.

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