分析 (Ⅰ)由題意可得{b=√5e=ca=23a2=b2+c2.解得即可,
(Ⅱ)法一:設A(4,y),F(xiàn)1(-2,0),根據(jù)線段F1A的垂直平分線經(jīng)過點F2得到|F1F2|=|F2A|,代值計算即可y的值,即可求出直線方程,
法二:設過點F1(-2,0)的直線l的斜率為k,則直線l的方程為y=k(x+2),再設AF1的中點P(x0,y0).根據(jù)PF2⊥F1A,即可求出k的值,
(Ⅲ)點B在橢圓C上,設B(m,n),n∈[-√5,0)∪(0,√5],A(4,y),根據(jù)兩點之間的距離公式,化簡整理,再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出最值.
解答 解:( I)由{b=√5e=ca=23a2=b2+c2.解得{a=3c=2.
所以橢圓C的方程為x29+y25=1.
( II)法一:設A(4,y),F(xiàn)1(-2,0),
因為線段F1A的垂直平分線經(jīng)過點F2,
所以|F1F2|=|F2A|.
由2c=4=√(4−2)2+y2,解得y=±2√3.
所以直線l的方程為y=±√33(x+2).
( II)法二
設過點F1(-2,0)的直線l的斜率為k,顯然k存在.
則直線l的方程為y=k(x+2).
所以A(4,6k).
設AF1的中點P(x0,y0).
則x0=−2+42=1,y0=0+6k2=3k.
所以P(1,3k).
因為PF2⊥F1A,
所以3k−01−2•k=−1.
所以k=±√33.
所以直線l的方程為y=±√33(x+2).
( III)點B在橢圓C上,設B(m,n),n∈[-√5,0)∪(0,√5],A(4,y).
因為OA⊥OB,
所以→OA•→OB=0,即4m+ny=0.
因為點B在橢圓C上,
所以m29+n25=1,
所以|AB|2=(m-4)2+(n-y)2=m2-8m+16+n2-2ny+y2=m2-8m+16+n2+8m+y2,
=m2+16+n2+y2=m2+16+n2+(−4mn)2,
=9(1-n25)+16+n2+16×9(1−n25)n2,
=144n2-4n25-195
設t=n2,t∈(0,5]
設g(t)=144t−4t5−195.
因為g′(t)=−144t2−45<0,
所以g(t)在(0,5]上單調(diào)遞減.
所以當t=5,即n=±√5時,|AB|min=√21.
點評 本題考查橢圓的方程和性質(zhì),主要考查橢圓的離心率和方程的運用,以及兩點的距離公式和函數(shù)的應用,考查運算能力,屬于中檔題.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題
A. | f(x)=2sin(2x+π6) | B. | f(x)=2sin(2x+π3) | C. | f(x)=2sin(x+π6) | D. | f(x)=2sin(x+π3) |
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