Question

【題目】已知函數(shù)（，且，e為自然對數(shù)的底）.

（I）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間

（Ⅱ）若函數(shù)在有兩個不同零點，求a的取值范圍.

Answer 1

【答案】（I）當時，增區(qū)間為，減區(qū)間為；當時，增區(qū)間為，減區(qū)間為；（Ⅱ）.

【解析】

（I），分，兩種情況討論解不等式即可；

（Ⅱ）因為有兩個正零點，由（I）知且在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.當，當，，所以只需，對于①直接解不等式，對于②，構(gòu)造，結(jié)合單調(diào)性解決.

（I）由，知

①當時，定義域為得，得；

②當時，定義域為得，得

所以，當時，增區(qū)間為，減區(qū)間為；

當時，增區(qū)間為，減區(qū)間為；

（Ⅱ）因為有兩個正零點，由（I）知

且在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.

設時，指數(shù)函數(shù)是爆炸增長，，

當，當，

因為有兩個正零點，所以有，

由①得，

對于②，令，，

在上單調(diào)遞增，且，由知，

由②得

綜上所述，

【點晴】

本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性以及已知函數(shù)零點個數(shù)求參數(shù)范圍的問題，考查學生邏輯推理能力，是一道中檔題.