在1與2之間插入n個(gè)正數(shù)a1,a2,a3,…,an,使這n+2個(gè)數(shù)成等比數(shù)列;又在1與2之間插入n個(gè)正數(shù)b1,b2,b3,…,bn,使這n+2個(gè)數(shù)成等差數(shù)列.記An=a1a2a3…an,Bn=b1+b2+b3+…+bn.

(1)求數(shù)列{An}和{Bn}的通項(xiàng);

(2)當(dāng)n≥7時(shí),比較An與Bn的大小,并證明你的結(jié)論.

解析:(1)∵1,a1,a2,a3,…,an,2成等比數(shù)列,

∴a1an=a2an-1=a3an-2=…=akan-k+1=…=1×2=2.

∴An2=(a1an)(a2an-1)(a3an-2)…(an-1a2)(ana1)=(1×2)n=2n.

∴An=.∵1,b1,b2,b3,…,bn,2成等差數(shù)列,

∴b1+bn=1+2=3.

∴Bn=·n=n.

∴數(shù)列{An}的通項(xiàng)An=數(shù)列{Bn}的通項(xiàng)Bn=n.

(2)∵An=,Bn=n,∴An2=2n,Bn2=n2.要比較An與Bn的大小,只需比較An2與Bn2的大小,也即比較當(dāng)n≥7時(shí),2nn2的大小.當(dāng)n=7時(shí),2n=128,n2=×49,得知2nn2.

經(jīng)驗(yàn)證,n=8,n=9時(shí)均有命題2nn2

成立.猜想當(dāng)n≥7時(shí),有2nn2,用數(shù)學(xué)歸納法證明.

①當(dāng)n=7時(shí),已驗(yàn)證2nn2,命題成立.

②假設(shè)n=k(k≥7)時(shí)命題成立,即2kk2,那么2k+1>2×k2.又當(dāng)k≥7時(shí),有k2>2k+1.

∴2k+1×(k2+2k+1)=(k+1)2.這就是說,當(dāng)n=k+1時(shí),命題2nn2成立.

根據(jù)①②,可知命題對(duì)于n≥7都成立.故當(dāng)n≥7時(shí),An>Bn.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

在1與2之間插入n個(gè)正數(shù)a1,a2,a3,…,an,使這n+2個(gè)數(shù)成等比數(shù)列;又在1與2之間插入n個(gè)正數(shù)b1,b2,b3,…,bn,使這n+2個(gè)數(shù)成等差數(shù)列.記An=a1a2a3…an,Bn=b1+b2+b3+…+bn
(1)求數(shù)列{An}和{Bn}的通項(xiàng);
(2)當(dāng)n≥7時(shí),比較An和Bn的大小,并證明你的結(jié)論.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

在1與2之間插入n個(gè)正數(shù),使這n+2個(gè)數(shù)成等比數(shù)列;又在1與2之間插入n個(gè)正數(shù),使這n+2個(gè)數(shù)成等差數(shù)列。記

。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m    

(1)       求數(shù)列的通項(xiàng);(2)當(dāng)的大小關(guān)系(不需證明)。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

在1與2之間插入n個(gè)正數(shù)A1,A2,A3,…,An,使這n+2個(gè)數(shù)成等比數(shù)列;又在1與2之間插入n個(gè)正數(shù)B1,B2,B3,…,Bn,使這n+2個(gè)數(shù)成等差數(shù)列.記An=A1A2A3An,Bn=B1+B2+…+

Bn.

(1)求數(shù)列{An} 和{Bn}的通項(xiàng);

(2)當(dāng)n≥7時(shí),比較AnBn的大小,并證明你的結(jié)論.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

在1與2之間插入n個(gè)正數(shù)a1,a2,a3,…,an,使這n+2個(gè)數(shù)成等比數(shù)列;又在1與2之間插入n個(gè)正數(shù)b1,b2,b3,…,bn,使這n+2個(gè)數(shù)成等差數(shù)列.記An=a1a2a3…an,Bn=b1+b2+b3+…+bn.

(1)求數(shù)列{An} 和{Bn}的通項(xiàng);

(2)當(dāng)n≥7時(shí),比較An與Bn的大小,并證明你的結(jié)論.

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