Question

15．已知數(shù)列{a_n}的前n項和S_n=$\frac{1}{7}$（2³ⁿ⁺¹-2）
（I）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）設(shè)b_n=log₂a_n，求$\frac{1}{_{1}_{2}}$$+\frac{1}{b{{\;}_{2}b}_{3}}$+…+$\frac{1}{_{n}_{n+1}}$．

Answer 1

分析 （1）當n≥2，S_n-1=$\frac{1}{7}$（2^3n-2-2），求得數(shù)列{a_n}的通項公式a_n=2^3n-2，
（2）寫出{b_n}的通項公式，b_n=3n-2，$\frac{1}{_{n}_{n+1}}$=$\frac{1}{3}$（$\frac{1}{3n-2}-\frac{1}{3n+1}$），再求和．

解答 解：（1）S_n=$\frac{1}{7}$（2³ⁿ⁺¹-2），
當n≥2時，S_n-1=$\frac{1}{7}$（2^3n-2-2），
兩式相減，a_n=$\frac{1}{7}$（2³ⁿ⁺¹-2^3n-2），
∴a_n=2^3n-2，當n=1，成立；
∴a_n=2^3n-2，
（2）b_n=log₂a_n=3n-2，b_n+1=log₂a_n+1=3n+1，
$\frac{1}{_{n}_{n+1}}$=$\frac{1}{（3n-2）（3n+1）}$=$\frac{1}{3}$（$\frac{1}{3n-2}-\frac{1}{3n+1}$），
$\frac{1}{_{1}_{2}}$$+\frac{1}{b{{\;}_{2}b}_{3}}$+…+$\frac{1}{_{n}_{n+1}}$=$\frac{1}{3}$[（1-$\frac{1}{4}$）+（$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{7}$）+…+（$\frac{1}{3n-2}-\frac{1}{3n+1}$）]，
=$\frac{1}{3}$（1-$\frac{1}{3n+1}$），
=$\frac{n}{3n+1}$．

點評 本題考查求數(shù)列的通項公式和數(shù)列的“裂項求和”方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．