解答題

已知a，b，c均為實數(shù)，函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c與g(x)＝ax＋b，且當－1≤x≤1時，恒有|f(x)|≤1．證明：(1)|c|≤1；(2)|g(x)|≤2．

答案：
解析：

　�、倭顇＝0，則f(0)＝c．

　　∵當－1≤x≤1時，|f(x)|≤1，∴|c|≤1．

　　②當a＞0，g(x)＝ax＋b在[－1，1]上是增函數(shù)，

　　∴g(－1)≤g(x)≤g(1)．

　　∵|f(x)|≤1，|c|≤1，(當－1≤x≤1時)，

　　∴g(1)＝a＋b＝f(1)－c≤|f(1)|＋|c|≤2，

　　g(－1)＝－a＋b＝－f(－1)＋c≥－(|f(1)＋|c|)≥－2，

　　∴－2≤g(x)≤2，∴|g(x)|≤2．

　　當a＜0時，g(x)在[－1，1]上是減函數(shù)．

　　∴g(1)≤g(x)≤g(－1)．

　　∵|f(x)|≤1，|c|≤1(當－1≤x≤1時)

　　∴g(－1)＝－a＋b＝－f(－1)＋c≤|f(－1)|＋|c|≤2，

　　g(1)＝a＋b＝f(1)－c≥－(|f(1)|＋|c|)≥－2，

　　∴－2≤g(x)≤2，∴|g(x)|≤2．

　　綜合以上，|g(x)|≤2．


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