Question

如圖，正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為1，P、Q分別是線段AD₁和B₁C上的動點，且滿足AP=B₁Q，則下列命題正確的是

 

（寫出所有正確命題的編號）．
①存在P、Q的某一位置，使AB∥PQ；
②△BPQ的面積為定值；
③當(dāng)PA＞0時，直線PB₁與AQ是異面直線；
④無論P、Q運動到任一位置，均有BC⊥PQ；
⑤P、Q在運動過程中，線段PQ在平面BCC₁B₁內(nèi)的射影所形成區(qū)域的面積為

1

2

．

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：①P、Q分別為AD₁和B₁C的中點時，AB∥PQ，可判斷①；
②當(dāng)P在A處時，△BPQ的面積為

1

2

，當(dāng)P在AD₁中點時，△BPQ的面積為

2

4

，可判斷②；
③當(dāng)PA＞0時，假設(shè)直線PB₁與AQ是共面直線，則AP與B₁Q共面，可導(dǎo)出矛盾，可判斷③；
④依題意，利用三垂線定理可得BC⊥PQ，可判斷④；
⑤P點在平面BCC₁B₁內(nèi)的射影點的軌跡為線段BC₁，設(shè)B₁C∩BC₁=O，線段PQ在平面BCC₁B₁內(nèi)的射影所形成的區(qū)域為△B₁OB和△C₁OC，可求得其面積，可判斷⑤．

解答： 解：①，P、Q分別為AD₁和B₁C的中點時，AB∥PQ，故①正確；
②，P在A處時，△BPQ的面積為

1

2

，P在AD₁中點時，△BPQ的面積為

2

4

，面積不是定值，故②錯誤；
③，當(dāng)PA＞0時，假設(shè)直線PB₁與AQ是共面直線，則AP與B₁Q共面，矛盾，所以直線PB₁與AQ是異面直線，故③正確；
④，BC垂直于PQ在平面ABCD內(nèi)的射影，由三垂線定理得BC⊥PQ，故④正確；
⑤，P點在平面BCC₁B₁內(nèi)的射影點的軌跡為線段BC₁，設(shè)B₁C∩BC₁=O，則線段PQ在平面BCC₁B₁內(nèi)的射影所形成的區(qū)域為△B₁OB和△C₁OC，故面積為

1

2

，故⑤正確．
故答案為：①③④⑤．

點評：本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，著重考查空間線面之間的位置關(guān)系的判斷，考查射影定理的應(yīng)用，突出考查轉(zhuǎn)化思想與空間想象能力，是難題．