Question

函數(shù)f（x）=x²+ax+b（a，b∈R）的值域為[0，+∞），且關(guān)于x的不等式f（x）＜c的解集為（m，m+6），在直線x=m，x=m+6，y=0，y=c圍成的矩形內(nèi)任意取一點P，則P點落在y=f（x）與y=c圍成的封閉區(qū)域內(nèi)的概率為

 

．

Answer 1

考點：定積分在求面積中的應(yīng)用

專題：綜合題,概率與統(tǒng)計

分析：根據(jù)函數(shù)的值域求出a與b的關(guān)系，然后根據(jù)不等式的解集可得f（x）=c的兩個根為m，m+6，最后利用根與系數(shù)的關(guān)系建立等式，求出c，再以面積為測度，即可求出概率．

解答： 解：∵函數(shù)f（x）=x²+ax+b（a，b∈R）的值域為[0，+∞），
∴f（x）=x²+ax+b=0只有一個根，即△=a²-4b=0則b=

a2

4

，
不等式f（x）＜c的解集為（m，m+6），
即為x²+ax+

a2

4

＜c解集為（m，m+6），
則x²+ax+

a2

4

-c=0的兩個根為m，m+6
∴|m+6-m|=

a2-4( a2 4 -c)

=6
解得c=9．
對于拋物線f（x）=x²+ax+b（a，b∈R），不論a，b取何值，圖形形狀不變，所圍成的面積為一定值，故令f（x）=x²，則

∫

3 -3

x2dx=18，y=f（x）與y=c圍成的封閉區(qū)域的面積為36，
∵直線x=m，x=m+6，y=0，y=c圍成的矩形的面積為54，
∴所求的概率為

36

54

=

2

3

．
故答案為：

2

3

．

點評：本題主要考查了一元二次不等式的應(yīng)用，以及根與系數(shù)的關(guān)系，考查幾何概型，同時考查了分析求解的能力和計算能力，屬于中檔題．