Question

【題目】如圖，圓O是一半徑為10米的圓形草坪，為了滿足周邊市民跳廣場(chǎng)舞的需要，現(xiàn)規(guī)劃在草坪上建一個(gè)廣場(chǎng)，廣場(chǎng)形狀如圖中虛線部分所示的曲邊四邊形，其中A，B兩點(diǎn)在⊙O上，A，B，C，D恰是一個(gè)正方形的四個(gè)頂點(diǎn)．根據(jù)規(guī)劃要求，在A，B，C，D四點(diǎn)處安裝四盞照明設(shè)備，從圓心O點(diǎn)出發(fā)，在地下鋪設(shè)4條到A，B，C，D四點(diǎn)線路OA，OB，OC，OD．

（1）若正方形邊長(zhǎng)為10米，求廣場(chǎng)的面積；
（2）求鋪設(shè)的4條線路OA，OB，OC，OD總長(zhǎng)度的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：連接AB，

∵AB=10，∴正方形ABCD的面積為100，

又OA=OB=10，∴△AOB為正三角形，則 ，

而圓的面積為100π，∴扇形AOB得面積為 ，

又三角形AOB的面積為 ．

∴弓形面積為 ，

則廣場(chǎng)面積為100+ （平方米）；

（2）過(guò)O作OK⊥CD，垂足為K，過(guò)O作OH⊥AD（或其延長(zhǎng)線），垂足為H，

設(shè)∠OAD=θ（0＜θ＜ ），

則OH=10sinθ，AH=10cosθ，

∴DH=|AD﹣AH|=|2OH﹣AH|=|20sinθ﹣10cosθ|，

∴OD= = ．

∴當(dāng)θ= 時(shí)， ．

∴鋪設(shè)的4條線路OA，OB，OC，OD總長(zhǎng)度的最小值為 （米）．

【解析】（1）將廣場(chǎng)的面積化為正方形與弓形的面積和，求弓形面積利用扇形面積減去三角形的面積來(lái)計(jì)算；（2）鋪設(shè)的4條線路OA，OB，OC，OD中OA，OB為圓的半徑長(zhǎng)，OC，OD長(zhǎng)度相等，所以求得OC或OD的最小值即可求得4條線路總長(zhǎng)度的最小值 .
【考點(diǎn)精析】認(rèn)真審題，首先需要了解直線與圓的三種位置關(guān)系(直線與圓有三種位置關(guān)系：無(wú)公共點(diǎn)為相離；有兩個(gè)公共點(diǎn)為相交,這條直線叫做圓的割線；圓與直線有唯一公共點(diǎn)為相切，這條直線叫做圓的切線，這個(gè)唯一的公共點(diǎn)叫做切點(diǎn))．