(本小題滿分12分)已知函數(shù)f(x)=x3x2-2.

(1)設(shè){an}是正數(shù)組成的數(shù)列,前n項(xiàng)和為Sn,其中a1=3.若點(diǎn)(an,an+12-2an+1)(n∈N*)在函數(shù)yf′(x)的圖象上,求證:點(diǎn)(n,Sn)也在yf′(x)的圖象上;

(2)求函數(shù)f(x)在區(qū)間(a-1,a)內(nèi)的極值.

 

 

【答案】

 

解析:

(1)證明:因?yàn)?i>f(x)=x3x2-2,

所以f′(x)=x2+2x

由點(diǎn)(an,an+12-2an+1)(n∈N*)在函數(shù)yf′(x)的圖象上,得an+12-2an+1an2+2an,即(an+1an)(an+1an-2)=0.

an>0(n∈N*),所以an+1an=2.

又因?yàn)?i>a1=3,

所以數(shù)列{an}是以3為首項(xiàng),以2為公差的等差數(shù)列,

所以Sn=3n+×2=n2+2n.

又因?yàn)?i>f′(n)=n2+2n,所以Snf′(n),

故點(diǎn)(n,Sn)也在函數(shù)yf′(x)的圖象上.

(2)f′(x)=x2+2xx(x+2),

f′(x)=0,得x=0或x=-2,

當(dāng)x變化時(shí),f′(x)、f(x)的變化情況如下表:

x

(-∞,-2)

-2

(-2,0)

0

(0,+∞)

f′(x)

0

0

f(x)

?

極大值

?

極小值

?

注意到|(a-1)-a|=1<2,從而

①當(dāng)a-1<-2<a,即-2<a<-1時(shí),f(x)的極大值為f(-2)=-,此時(shí)f(x)無極小值;

②當(dāng)a-1<0<a,即0<a<1時(shí),f(x)的極小值為f(0)=-2,此時(shí)f(x)無極大值;

③當(dāng)a≤-2或-1≤a≤0或a≥1時(shí),f(x)既無極大值又無極小值.

 

【解析】略

 

練習(xí)冊(cè)系列答案
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(文) (本小題滿分12分已知函數(shù)y=4-2
3
sinx•cosx-2sin2x(x∈R)
,
(1)求函數(shù)的值域和最小正周期;
(2)求函數(shù)的遞減區(qū)間.

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(2011•自貢三模)(本小題滿分12分>
設(shè)平面直角坐標(biāo)中,O為原點(diǎn),N為動(dòng)點(diǎn),|
ON
|=6,
ON
=
5
OM
.過點(diǎn)M作MM1丄y軸于M1,過N作NN1⊥x軸于點(diǎn)N1,
OT
=
M1M
+
N1N
,記點(diǎn)T的軌跡為曲線C.
(I)求曲線C的方程:
(H)已知直線L與雙曲線C:5x2-y2=36的右支相交于P、Q兩點(diǎn)(其中點(diǎn)P在第-象限).線段OP交軌跡C于A,若
OP
=3
OA
,S△PAQ=-26tan∠PAQ求直線L的方程.

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(本小題滿分12分)已知函數(shù),且。①求的最大值及最小值;②求的在定義域上的單調(diào)區(qū)間.

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(2009湖南卷文)(本小題滿分12分)

為拉動(dòng)經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng),某市決定新建一批重點(diǎn)工程,分別為基礎(chǔ)設(shè)施工程、民生工程和產(chǎn)業(yè)建設(shè)工程三類,這三類工程所含項(xiàng)目的個(gè)數(shù)分別占總數(shù)的、.現(xiàn)有3名工人獨(dú)立地從中任選一個(gè)項(xiàng)目參與建設(shè).求:

(I)他們選擇的項(xiàng)目所屬類別互不相同的概率;    w.w.w.k.s.5.u.c.o.m    

(II)至少有1人選擇的項(xiàng)目屬于民生工程的概率.

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(本小題滿分12分)

某民營(yíng)企業(yè)生產(chǎn)A,B兩種產(chǎn)品,根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查和預(yù)測(cè),A產(chǎn)品的利潤(rùn)與投資成正比,其關(guān)系如圖1,B產(chǎn)品的利潤(rùn)與投資的算術(shù)平方根成正比,其關(guān)系如圖2,

(注:利潤(rùn)與投資單位是萬元)

(1)分別將A,B兩種產(chǎn)品的利潤(rùn)表示為投資的函數(shù),并寫出它們的函數(shù)關(guān)系式.(2)該企業(yè)已籌集到10萬元資金,并全部投入到A,B兩種產(chǎn)品的生產(chǎn),問:怎樣分配這10萬元投資,才能使企業(yè)獲得最大利潤(rùn),其最大利潤(rùn)為多少萬元.

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