Question

5．已知P是半徑為2的球面上一點，過P點作兩兩垂直的三條線段PA，PB，PC，A，B，C三點均在球面上，滿足PA=2PB，則P點到平面ABC的最遠(yuǎn)距離是（　�。�

• A． $\frac{4\sqrt{6}}{9}$
• B． $\frac{4}{3}$
• C． $\frac{8}{7}$
• D． $\frac{6}{5}$

Answer 1

分析 過點P作PH⊥平面ABC，設(shè)PA=a，PB=b，PC=c，PH=h，結(jié)合a=2b，可得5b²+c²=16，由$\frac{1}{P{H}^{2}}$=$\frac{1}{P{A}^{2}}$+$\frac{1}{P{B}^{2}}$+$\frac{1}{P{C}^{2}}$，利用基本不等式可得：$\frac{1}{{h}^{2}}$=（$\frac{5}{4^{2}}$+$\frac{1}{{c}^{2}}$）（$\frac{5^{2}}{16}$+$\frac{{c}^{2}}{16}$）=$\frac{29}{64}$+$\frac{5}{16}$（$\frac{{c}^{2}}{4^{2}}$+$\frac{^{2}}{{c}^{2}}$）≥$\frac{49}{64}$，從而可求P點到平面ABC的最遠(yuǎn)距離．

解答 解：點P，A，B，C在同一球面上，且線段PA，PB，PC兩兩垂直，PA=2PB，則PA，PB，PC可看做長方體的一個頂點出發(fā)的三條棱，過空間四點P，A，B，C的球面即為長方體的外接球，
過點P作PH⊥平面ABC，設(shè)PA=a，PB=b，PC=c，PH=h，
則16=a²+b²+c²，
又∵a=2b，
∴5b²+c²=16，
又∵$\frac{1}{P{H}^{2}}$=$\frac{1}{P{A}^{2}}$+$\frac{1}{P{B}^{2}}$+$\frac{1}{P{C}^{2}}$，可得：$\frac{1}{{h}^{2}}$=$\frac{5}{4^{2}}$+$\frac{1}{{c}^{2}}$，
∴$\frac{1}{{h}^{2}}$=（$\frac{5}{4^{2}}$+$\frac{1}{{c}^{2}}$）（$\frac{5^{2}}{16}$+$\frac{{c}^{2}}{16}$）=$\frac{29}{64}$+$\frac{5}{16}$（$\frac{{c}^{2}}{4^{2}}$+$\frac{^{2}}{{c}^{2}}$）≥$\frac{49}{64}$，當(dāng)且僅當(dāng)c=$\sqrt{2}b$時等號成立，
∴h≤$\frac{8}{7}$．
故選：C．

點評 本題主要考查了球的性質(zhì)及基本不等式的解法的綜合應(yīng)用，考查了空間想象能力和推理論證能力，考查了轉(zhuǎn)化思想，技巧性強，屬于難題．