Question

已知定義在R上的函數(shù) f（x）的圖象關(guān)于 (-

3

4

，0)成中心對(duì)稱，且滿足f（x）=-f（x+

3

2

）；f（-1）=1，f（0）=-2，則f（1）+f（2）+…+f（2007）的值為（　　）

A．-2

B．-1

C．0

D．1

Answer 1

分析：f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（-

3

4

，0）成中心對(duì)稱⇒f（-

3

4

+x）=-f（-

3

4

-x），令x=

7

4

，可求得f（1）=-f（-

5

2

），利用f（x）=-f（x+

3

2

）及f（-1）=1可求得f（1）及f（x）是以3為周期的函數(shù)，從而可求得f（1）+f（2）+…+f（2007）的值．

解答：解：∵f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（-

3

4

，0）成中心對(duì)稱，
∴f（-

3

4

+x）=-f（-

3

4

-x），
∴f（-

3

4

+

7

4

）=-f（-

3

4

-

7

4

），
即f（1）=-f（-

5

2

），
而f（x）=-f（x+

3

2

），f（-1）=1，
∴f（-

5

2

）=-f（-1）=-1；
∴f（1）=1；
又f（x）=-f（x+

3

2

），
∴f（x+3）=-f（x+

3

2

）=f（x），
∴f（x）是以3為周期的函數(shù)；
又有f（1）=1，f（2）=f（-1）=1；f（3）=f（0）=-2；
∴f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2007）
=669[f（1）+f（2）+f（3）]
=0．
故選：C．

點(diǎn)評(píng)：本題考查抽象函數(shù)的應(yīng)用，著重考查函數(shù)的對(duì)稱性與周期性的綜合應(yīng)用，考查推理與運(yùn)算能力，屬于中檔題．