Question

已知函數(shù)f(x)=2cos2x+

3

sin2x+m，m∈R
（1）當(dāng)x∈R時(shí)，求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）當(dāng)x∈[0，

π

2

]時(shí)，且f（x）的最小值為2，求m的值．

Answer 1

分析：（1）由題意可得：f（x）=2sin(2x+

π

6

)+m+1，由正弦函數(shù)的單調(diào)性可得：-

π

2

+2kπ≤2x+

π

6

≤

π

2

+2kπ，k∈z
進(jìn)而得到f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．
（2）因?yàn)?span id="h9hrl1x" class="MathJye">x∈[0，

π

2

]，所以2x+

π

6

∈[

π

6

，

7π

6

]，所以sin(2x+

π

6

)∈[-

1

2

，1]，即可求出m的數(shù)值．

解答：解：（1）由題意可得：
f(x)=2cos2x+

3

sin2x+m
=cos2x+

3

sin2x+m+1
=2sin(2x+

π

6

)+m+1，
由正弦函數(shù)的單調(diào)性可得：-

π

2

+2kπ≤2x+

π

6

≤

π

2

+2kπ，k∈z
即得到：-

π

3

+kπ≤x≤

π

6

+kπ，
∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[-

π

3

+kπ，

π

6

+kπ]，k∈Z
（2）∵x∈[0，

π

2

]
∴2x+

π

6

∈[

π

6

，

7π

6

]
∴sin(2x+

π

6

)∈[-

1

2

，1]
∴f（x）的最小值為m
∴m=2．

點(diǎn)評(píng)：解決此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是熟練掌握正弦函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)，以及熟練掌握利用整體思想解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的方法．