Question

已知橢圓M：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）過（1，

3

2

），e=

3

2

，直線l₁：y=kx+m（m≠0）與橢圓交于AB兩點(diǎn)，直線l₂：y=kx-m與橢圓交于C、D兩點(diǎn)．
（1）求橢圓的方程；
（2）當(dāng)k=1時(shí)，求四邊形ABCD面積的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）利用待定系數(shù)法，建立方程組，求出a，b，即可求橢圓的方程；
（2）當(dāng)k=1時(shí)，四邊形ABCD是平行四邊形，表示出兩平行線AB，CD間的距離，|AB|，可得面積，再利用配方法，求四邊形ABCD面積的最大值．

解答： 解：（1）由題意得

1 a2 + 3 4b2 =1 a2-b2 a2 = 3 4

，解得a=2，b=1，
所以橢圓方程為

x2

4

+y2=1；
（2）由題意知直線l₁和直線l₂關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則AB=CD，所以四邊形ABCD是平行四邊形，
設(shè)兩平行線AB，CD間的距離為d，則d=

|m-(-m)|

1+1

=

2

|m|．
y=x+m代入

x2

4

+y2=1，整理可得5x²+8mx+4m²-4=0，
設(shè)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂），
則x₁+x₂=-

8m

5

，x₁x₂=

4m2-4

5

，
∴|AB|=

2

•

( 8m 5 )2- 4(4m2-4) 5

所以S=

2

•

( 8m 5 )2- 4(4m2-4) 5

•

2

|m|=

8

5

-(m2- 5 2 )2+ 25 4

≤4
所以四邊形ABCD的面積S取得最大值為4．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生的計(jì)算能力，正確運(yùn)用韋達(dá)定理是關(guān)鍵．