Question

11．如圖，直棱柱ABC-A₁B₁C₁的棱長都為2，點F為棱BC的中點，點E在棱CC₁上，且CC₁=4CE．
（Ⅰ）求證：平面B₁AF⊥面EAF；
（Ⅱ）求點C₁到平面的EAF的距離．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由EF⊥B₁F，AF⊥EF，可得EF⊥平面B₁AF，即可證明平面B₁AF⊥面EAF；
（Ⅱ）利用等體積轉(zhuǎn)化，求點C₁到平面的EAF的距離．

解答 證明：（Ⅰ）由題意知，在△B₁BF和△FCE中，$\frac{B{B}_{1}}{BF}=\frac{FC}{EC}$=2，∠B₁BF=∠FCE=$\frac{π}{2}$，
所以△B₁BF∽△FCE，
所以∠EFC=∠B₁BF，
所以EF⊥B₁F．
由直棱柱的性質(zhì)知：底面ABC⊥側(cè)面BB₁C₁C，F(xiàn)為BC中點，
所以AF⊥BC，
所以AF⊥側(cè)面?zhèn)让鍮B₁C₁C，則AF⊥EF．
因為B₁F∩AF=F，
所以EF⊥平面B₁AF，
所以平面B₁AF⊥平面EAF…（6分）
解：（Ⅱ）設(shè)點C₁到平面AEF的距離為d，
因為S_△AEF=$\frac{\sqrt{15}}{4}$，${S}_{EF{C}_{1}}$=$\frac{1}{2}×\frac{3}{2}×1=\frac{3}{4}$
所以由等體積得$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{15}}{4}×d=\frac{1}{3}×\frac{3}{4}×\sqrt{3}$
所以d=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$…（12分）

點評 本題考查線面、面面垂直的證明，考查點到平面距離的計算，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．