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11.已知過圓錐頂點S作截面SAB與底面成60°的二面角,且A、B分底面圓周為1:2的弧度,已知截面SAB的面積為243,求:
(1)底面圓心到平面SAB的距離.
(2)母線與底面所成角的大�。�

分析 (1)∠AOB=120°,用底面半徑表示出AB和SC,根據(jù)面積求出底面半徑,利用二面角得出圓錐額高SO,根據(jù)等積法求出O到平面SAB的距離;
(2)根據(jù)圓錐的高與底面半徑的比值求出線面角.

解答 解:(1)∵A、B分底面圓周為1:2的圓弧,∴∠AOB=120°,
過O作OC⊥AB于C,連結(jié)SC,則∠SCO=60°,
設(shè)底面半徑OA=r,則OC=12r,AB=2r2r24=3r,SC=2OC=r,∴SO=32r,
∵S△SAB=12AB×SC=12×3r×r=243,∴r=43.∴SO=6,
設(shè)圓心O到平面SAB的距離為h,
則V棱錐S-OAB=13SOABSO=13SSABh
∴h=SOABSOSSAB=\frac{\frac{1}{2}×(4\sqrt{3})^{2}×sin120°×6}{24\sqrt{3}}=3.
即底面圓心到平面SAB的距離為3.
(2)在Rt△SOB中,tan∠SBO=\frac{SO}{OB}=\frac{6}{4\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{2}
∴∠SBO=arctan\frac{\sqrt{3}}{2}
即母線與底面所成角的大小為arctan\frac{\sqrt{3}}{2}

點評 本題考查了圓錐的結(jié)構(gòu)特征,棱錐的體積計算,屬于中檔題.

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