Question

6．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{n}$=1（0＜n＜16）的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，過(guò)F₁的直線(xiàn)交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，若|AF₂|+|BF₂|的最大值為10，則n的值為12．

Answer 1

分析 由題意可知橢圓是焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，利用橢圓定義得到|BF₂|+|AF₂|=16-|AB|，再由過(guò)橢圓焦點(diǎn)的弦中通徑的長(zhǎng)最短，可知當(dāng)AB垂直于x軸時(shí)|AB|最小，把|AB|的最小值$\frac{n}{2}$，代入|BF₂|+|AF₂|=16-|AB|，由|BF₂|+|AF₂|的最大值等于10，列式求n的值．

解答 解：由0＜n＜16可知，焦點(diǎn)在x軸上，
由過(guò)F₁的直線(xiàn)l交橢圓于A，B兩點(diǎn)，
由橢圓的定義可得|BF₂|+|AF₂|+|BF₁|+|AF₁|=2a+2a=4a=16，
即有|BF₂|+|AF₂|=16-|AB|．
當(dāng)AB垂直x軸時(shí)|AB|最小，|BF₂|+|AF₂|值最大，
此時(shí)|AB|=$\frac{2^{2}}{a}$=$\frac{2n}{4}$=$\frac{n}{2}$，
即為10=16-$\frac{n}{2}$，
解得n=12．
故答案為：12．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的關(guān)系，考查了橢圓的定義，解答此題的關(guān)鍵是明確過(guò)橢圓焦點(diǎn)的弦中通徑的長(zhǎng)最短，是中檔題．