Question

如圖，四棱錐中，⊥底面，底面為梯形，，，且，點是棱上的動點.
（Ⅰ）當∥平面時，確定點在棱上的位置；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，求二面角的余弦值.

Answer 1

（Ⅰ）在梯形中，由，，得，

∴．又，故為等腰直角三角形.
∴.
連接，交于點，則 
∥平面,又平面,∴.
在中，，
即時，∥平面.            6分
（Ⅱ）方法一：在等腰直角中，取中點，連結，則．∵平面⊥平面，且平面平面=，∴平面．
在平面內，過作直線于，連結，由、，得平面，故．∴就是二面角的平面角．           
在中，設，則，
，，
，
由，可知：∽，∴，
代入解得：．
在中，，∴，
．
∴二面角的余弦值為．              12分
方法二：以為原點，所在直線分別為軸、軸，如圖建立空間直角坐標系．
設，則，，，，．
設為平面的一個法向量，則，，∴，解得，∴．          
設為平面的一個法向量，則，，
又，，∴，解得
∴．
∴二面角的余弦值為．             12分

略