Question

（2012•杭州二模）已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1 (a ＞ b ＞ 0)上任一點P到兩個焦點的距離的和為2

3

，P與橢圓長軸兩頂點連線的斜率之積為-

2

3

．設直線l過橢圓C的右焦點F，交橢圓C于兩點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
（Ⅰ）若

OA

•

OB

=

4

tan∠AOB

（O為坐標原點），求|y₁-y₂|的值；
（Ⅱ）當直線l與兩坐標軸都不垂直時，在x軸上是否總存在點Q，使得直線QA、QB的傾斜   角互為補角？若存在，求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（I）由橢圓的定義可知：a=

3

；由P與橢圓長軸兩頂點連線的斜率之積為-

2

3

，可得-

b2

a2

=-

2

3

，即可得到a，b²．
（II）假設存在一點Q（m，0），使得直線QA、QB的傾斜角互為補角，設直線l的方程為y=k（x-1）代入橢圓的方程消去y得（3k²+2）x²-6k²x+3k²-6=0，得到根與系數的關系；由直線QA、QB的傾斜角互為補角，可得k_QA+k_QB=0，利用斜率計算公式得出，把根與系數的關系代入解出即可．

解答：解：（Ⅰ）由橢圓的定義知a=

3

，又-

b2

a2

=-

2

3

，∴b²=2，c²=a²-b²=1．
∴橢圓P（x₀，y₀）的方程是

x2

3

+

y2

2

=1．
∵

OA

•

OB

=

4

tan∠AOB

，∴|

OA

|•|

OB

|cos∠AOB=

4

tan∠AOB

，
∴|

OA

|•|

OB

|sin∠AOB=4，
∴S△AOB=

1

2

|

OA

|•|

OB

|sin∠AOB=2，
又S△AOB=

1

2

|y1-y2|×1，故|y₁-y₂|=4．
（Ⅱ）假設存在一點Q（m，0），使得直線QA、QB的傾斜角互為補角，
依題意可知直線l、QA、QB斜率存在且不為零．
設直線l的方程為y=k（x-1）代入橢圓的方程消去y得（3k²+2）x²-6k²x+3k²-6=0，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）則x1+x2=

6k2

3k2+2

，x1•x2=

3k2-6

3k2+2

∵直線QA、QB的傾斜角互為補角，
∴k_QA+k_QB=0，∴

y1

x1-m

+

y2

x2-m

=0．
又y₁=k（x₁-1），y₂=k（x₂-1），
代入上式可得2x₁x₂+2m-（m+1）（x₁+x₂）=0，
∴2×

3k2-6

3k2+2

+2m-(m+1)×

6k2

3k2+2

=0，
化為2m-6=0，解得m=3，
∴存在Q（3，0）使得直線QA、QB的傾斜角互為補角．

點評：熟練掌握橢圓的定義、橢圓上一點P與橢圓長軸兩頂點連線的斜率之積為-

b2

a2

、直線QA、QB的傾斜角互為補角?k_QA+k_QB=0、直線與橢圓的方程相交問題轉化為一元二次方程的根與系數的關系、斜率計算公式等是解題的關鍵．