在等比數(shù)列{an}中,a1>0,n∈N*,且a3-a2=8,又a1、a5的等比中項為16.
(1)求數(shù)列{an}的通公式;
(2)設(shè)bn=log4an,數(shù)列{bn}的前n項和為Sn,是否存在正整數(shù)k,使得
1
S1
+
1
S2
+
1
S3
+…+
1
Sn
<k對任意n∈N*恒成立.若存在,求出正整數(shù)k的最小值;不存在,請說理由.
分析:(1)利用等比數(shù)列的定義可求其公比q=
a3
a2
=2,從而可求{an}的通公式;
(2)依題意,可求bn=
n+1
2
,從而可求數(shù)列{bn}的前n項和為Sn,繼而可得
1
Sn
=
4
3
1
n
-
1
n+3
),從而可得
1
S1
+
1
S2
+…+
1
Sn
22
9
,于是可求kmin
解答:解:(1)設(shè)數(shù)列{an}的公比為q,由題意a1、a5的等比中項為16可得a3=16,又a3-a2=8,則a2=8,
∴q=
a3
a2
=2,
∴an=2n+1
(2)∵bn=log42n+1=
n+1
2
,bn+1=
n+2
2
,
bn+1-bn=
1
2
,
∴數(shù)列{bn}是首項為1,公差為
1
2
的等差數(shù)列,
∴Sn=b1+b2+…+bn
=
(1+
n+1
2
)n
2

=
n(n+3)
4

1
Sn
=
4
n(n+3)
=
4
3
1
n
-
1
n+3
),
1
S1
+
1
S2
+…+
1
Sn
=
4
3
(1-
1
4
+
1
2
-
1
5
+
1
3
-
1
6
+…+
1
n
-
1
n+3

=
4
3
(1+
1
2
+
1
3
-
1
n+1
-
1
n+2
-
1
n+3

=
4
3
×
11
6
-
4
3
×(
1
n+1
+
1
n+2
+
1
n+2

=
22
9
-
4
3
×(
1
n+1
+
1
n+2
+
1
n+2

當(dāng)n=1時,
1
S1
=1<2<
22
9
,
當(dāng)n≥2時,
1
S1
+
1
S2
+…+
1
Sn
=
22
9
-
4
3
×(
1
n+1
+
1
n+2
+
1
n+2
)<
22
9

故存在最小的正整數(shù)k=3,使得
1
S1
+
1
S2
+…+
1
Sn
<3對任意n∈N*恒成立.
點評:本題考查數(shù)列的求和,考查等比數(shù)列的定義及通項公式,突出考查裂項法求和,考查推理與運算能力,屬于難題.
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在等比數(shù)列{an}中,a4=
2
3
 , a3+a5=
20
9

(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)若數(shù)列{an}的公比大于1,且bn=log3
an
2
,求數(shù)列{bn}的前n項和Sn

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在等比數(shù)列{an}中,若a1=1,公比q=2,則a12+a22+…+an2=(  )
A、(2n-1)2
B、
1
3
(2n-1)
C、4n-1
D、
1
3
(4n-1)

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1
an
}
的前n項和為Sn,則S5=( 。

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