Question

設(shè)函數(shù)f(x)=lg

ax-5

x2-a

的定義域為A，若命題p：3∈A與命題q：1∉A有且僅有一個為真命題，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：若命題p：3∈A為真，則函數(shù)f(x)=lg

ax-5

x2-a

的真數(shù)部分在x=3時大于0，由此我們易求出命題p為真時，實數(shù)a的取值范圍；而命題q：1∉A為真時，函數(shù)f(x)=lg

ax-5

x2-a

的真數(shù)部分無意義或小于0，進(jìn)而求出命題q為真時，實數(shù)a的取值范圍；然后由命題p與命題q有且僅有一個為真命題，分類討論，即可得到實數(shù)a的取值范圍．

解答：解：設(shè)由題意得：當(dāng)3∈A，則有

3a-5

9-a

＞0?a∈(

5

3

，9)；
當(dāng)q：1∉A，則有

a-5

1-a

≤0或a=1?a≥5或a≤1；
若P真q假，則a∈(

5

3

，5)；    
若P假q真，則a∈[9，+∞）∪（-∞，1]；
故：a∈(

5

3

，5)∪[9，+∞）∪（-∞，1]

點評：本題考查的知識點是函數(shù)的定義域，復(fù)合命題的真假，分式不等式的解法，其中分別求出命題p與命題q為真時，實數(shù)a的取值范圍是解答本題的關(guān)鍵，在確定命題q：1∉A為真時，易忽略當(dāng)x=1時，可能導(dǎo)致函數(shù)f(x)=lg

ax-5

x2-a

的真數(shù)部分無意義，而錯解為a∈(

5

3

，5)∪[9，+∞）∪（-∞，1）