Question

如圖，BD為⊙O的直徑，AB=AC，AD交BC于E，AE=2，ED=4．
（1）求證：△ABE∽△ADB，并求AB的長；
（2）延長DB到F，使BF=BO，連接FA，那么直線FA與⊙O相切嗎？為什么？

Answer 1

分析：（1）易得△ABE與△ADB的三個內(nèi)角相等，故△ABE∽△ADB，進而可得

AB

AD

=

AE

AB

；代入數(shù)據(jù)可得答案．
（2）連接OA，根據(jù)勾股定理可得BF=BO=AB；易得∠OAF=90°，故可得直線FA與⊙O相切．

解答：證明：（1）∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C．
∵∠C=∠D，
∴∠ABC=∠D．
又∵∠BAE=∠DAB，
∴△ABE∽△ADB，（3分）
∴

AB

AD

=

AE

AB

，
∴AB²=AD•AE=（AE+ED）•AE=（2+4）×2=12，
∴AB=2

3

．（5分）
解：（2）直線FA與⊙O相切．（6分）
理由如下：
連接OA，
∵BD為⊙O的直徑，
∴∠BAD=90°，
∴BD=

AB2+AD2

=

12+(2+4)2

=

48

=4

3

，
∴BF=BO=

1

2

BD=

1

2

×4

3

=2

3

．
∵AB=2

3

，
∴BF=BO=AB，即△ABO為等邊三角形，∠BFA=∠BAF
∴∠BAO=∠OBA=60°，又∵∠OBA=∠BFA+∠BAF
∴∠BFA=∠BAF=30°
∴∠OAF=∠BAF+∠BAO=90°．
∴直線FA與⊙O相切．（8分）

點評：本題主要考查了圓的切線的判定定理的證明．本題考查常見的幾何題型，包括切線的判定及相似三角形證明與性質(zhì)的運用，要求學(xué)生掌握常見的解題方法，并能結(jié)合圖形選擇簡單的方法解題．