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2.如圖,圓錐的頂點(diǎn)為P,底面圓心為O,線段AB和線段CD都是底面圓的直徑,且直線AB與直線CD的夾角為\frac{π}{2},已知|OA|=1,|PA|=2.
(1)求該圓錐的體積;
(2)求證:直線AC平行于平面PBD,并求直線AC到平面PBD的距離.

分析 (1)利用圓錐的體積公式求該圓錐的體積;
(2)由對(duì)稱性得AC∥BD,即可證明直線AC平行于平面PBD,C到平面PBD的距離即直線AC到平面PBD的距離,由VC-PBD=VP-BCD,求出直線AC到平面PBD的距離.

解答 (1)解:設(shè)圓錐的高為h,底面半徑為r,則r=1,h=\sqrt{3},
∴圓錐的體積V=\frac{1}{3}Sh=\frac{\sqrt{3}}{3}π
(2)證明:由對(duì)稱性得AC∥BD,
∵AC?平面PBD,BD?平面PBD,
∴AC∥平面PBD,
∴C到平面PBD的距離即直線AC到平面PBD的距離,
設(shè)C到平面PBD的距離為d,則由VC-PBD=VP-BCD,得\frac{1}{3}{S}_{△PBD}•d=\frac{1}{3}{S}_{△BCD}•h,
可得\frac{1}{3}•\frac{\sqrt{7}}{2}d=\frac{1}{3}•1•\sqrt{4-1},∴d=\frac{2\sqrt{21}}{7},
∴直線AC到平面PBD的距離為\frac{2\sqrt{21}}{7}

點(diǎn)評(píng) 本題考查圓錐體積的計(jì)算,考查線面平行的判定,考查體積的計(jì)算,屬于中檔題.

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