Question

17．設函數f（x）=log₂（2x）•log₂$\frac{x}{16}$．
（1）解方程f（x）+6=0；
（2）設不等式2${\;}^{{x}^{2}+x}$≤4^3x-2的解集為M，求函數f（x）（x∈M）的值域．

Answer 1

分析 （1）化簡解關于log₂x的方程；
（2）先解出不等式2${\;}^{{x}^{2}+x}$≤4^3x-2的解集為M，再求函數f（x）的值域即可．

解答 解：（1）f（x）+6=0，即（1+log₂x）（log₂x-4）+6=0，
∴${（{log_2}x）^2}-3{log_2}x+2=0$，
∴l(xiāng)og₂x=1或log₂x=2，
解得x=2或x=4，
∴原方程的解集為{x|x=2或x=4}…（4分）
（2）不等式${2^{{x^2}+x}}≤{4^{3x-2}}$解得M={x|1≤x≤4}…（6分）
$f（x）={log_2}（2x）{log_2}\frac{x}{16}=（{log_2}x+1）（{log_2}x-4）={（{log_2}x）^2}-3{log_2}x-4$
令log₂x=t（1≤x≤4），則0≤t≤2，所以$-\frac{25}{4}≤f（x）≤-4$
所以函數$f（x）={log_2}（2x）{log_2}\frac{x}{16}（x∈M）$的值域$[{-\frac{25}{4}，-4}]$．…（10分）

點評 本題主要與對數和指數有關的方程，對數函數的值域，屬于中等題．