Question

14．已知M點(diǎn)是△ABC的重心，若以AB為直徑的圓恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)M，則$\frac{tanC}{tanA}$+$\frac{tanC}{tanB}$的值為$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 首先根據(jù)三角形的重心性質(zhì)及直角三角形的斜邊的中線等于斜邊的一半，得到CD=$\frac{3}{2}$AB，再應(yīng)用余弦定理推出AC²+BC²=5AB²，將$\frac{tanC}{tanA}$+$\frac{tanC}{tanB}$應(yīng)用三角恒等變換公式化簡(jiǎn)得$\frac{si{n}^{2}C}{sinAsinBcosC}$，然后運(yùn)用正弦定理和余弦定理，結(jié)合前面的結(jié)論，即可求值得解．

解答 解：如圖，連接CM，延長(zhǎng)交AB于D，
由于M為重心，故D為中點(diǎn)，
∵AM⊥BM，∴DM=$\frac{1}{2}$AB，
由重心的性質(zhì)得，CD=3DM，即CD=$\frac{3}{2}$AB，
由余弦定理得，AC²=AD²+CD²-2AD•CD•cos∠ADC，
BC²=BD²+CD²-2BD•CD•cos∠BDC，
∵∠ADC+∠BDC=π，AD=BD，
∴AC²+BC²=2AD²+2CD²，
∴AC²+BC²=$\frac{1}{2}$AB²+$\frac{9}{2}$AB²=5AB²，
∴$\frac{tanC}{tanA}$+$\frac{tanC}{tanB}$=$\frac{sinC（cosAsinB+cosBsinA）}{sinAsinBcosC}$=$\frac{si{n}^{2}C}{sinAsinBcosC}$=$\frac{A{B}^{2}}{BC•AC•cosC}$=$\frac{A{B}^{2}}{\frac{B{C}^{2}+A{C}^{2}-A{B}^{2}}{2}}$=$\frac{2A{B}^{2}}{5A{B}^{2}-A{B}^{2}}$=$\frac{1}{2}$．
故答案為：$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查解三角形中的正弦定理與余弦定理及應(yīng)用，考查三角恒等變換，三角形的重心的性質(zhì)，考查運(yùn)算能力，有一定的難度．