(本題滿分12分)如圖,在長方體
中,已知上下兩底面為正方形,且邊長均為1;側(cè)棱
,為
中點(diǎn),
為
中點(diǎn),
為
上一個動點(diǎn).
(Ⅰ)確定
點(diǎn)的位置,使得
;
(Ⅱ)當(dāng)
時(shí),求二面角
的平
面角余弦值.
(1)根據(jù)已知中的線線垂直關(guān)系, 來結(jié)合線面垂直的判定定理來分析線面垂直,這類試題先是猜想點(diǎn)的位置,然后加以證明。
(2)
試題分析:方法一:
(Ⅰ)如圖,
分別以
所在直線為
軸建立空間直角坐標(biāo)系
,則
易得
………………2分
由題意得
,設(shè)
又
則由
得
,
∴
,得
為
的四等分點(diǎn).………………………6分
(Ⅱ)易知平面
的一個法向量為
,設(shè)平面
的法向量為
則
,得
,取
,得
, ……………10分
∴
,∴二面角
的平面角余弦值為
.12分
方法二:
(Ⅰ)∵
在平面
內(nèi)的射影為
,且四邊形
為正方形,
為中點(diǎn), ∴
同理,
在平面
內(nèi)的射影為
,則
由△
~△
, ∴
,得
為
的四等分點(diǎn). …………………6分
(Ⅱ)∵
平面
,過
點(diǎn)作
,垂足為
;
連結(jié)
,則
為二面角
的平面角;…………………………8分
由
,得
,解得
∴在
中,
,
∴
;∴二面角
的平面角余弦值為
. …12分
點(diǎn)評:解決該試題的關(guān)鍵是能合理的根據(jù)結(jié)論 ,逆向求點(diǎn)點(diǎn)M的位置,進(jìn)而結(jié)合向量法或者是幾何性質(zhì)法求解二面角,屬于中檔題。
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題
科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
如圖:在三棱錐
中,
面
,
是直角三角形,
,
,
,點(diǎn)
分別為
的中點(diǎn)。
⑴求證:
;
⑵求直線
與平面
所成的角的大。
⑶求二面角
的正切值。
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:填空題
如圖,已知六棱錐
P—
ABCDEF的底面是正六邊形,
平面
ABC,
,給出下列結(jié)論:①
;②平面
平面
PBC;③直線
平面
PAE;④
;⑤直線PD與平面PAB所成角的余弦值為
。
其中正確的有
(把所有正確的序號都填上)。
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:單選題
正方體ABCD-A
1B
1C
1D
1中,BB
1與平面ACD
1所成的角的余弦值為
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
如圖所示,等腰△ABC的底邊AB=6
,高CD=3,點(diǎn)E是線段BD上異于點(diǎn)B、D的動點(diǎn).點(diǎn)F在BC邊上,且EF⊥AB.現(xiàn)沿EF將△BEF折起到△PEF的位置,使PE⊥AE.記
,用
表示四棱錐P-ACFE的體積.
(Ⅰ)求
的表達(dá)式;
(Ⅱ)當(dāng)x為何值時(shí),
取得最大值?
(Ⅲ)當(dāng)V(x)取得最大值時(shí),求異面直線AC與PF所成角的余弦值
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
(本小題滿分12分)
如圖,四棱錐
中,底面
是邊長為2的正方形,
,且
,
為
中點(diǎn).
(1)求證:
平面
;
(2)求二面角
的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:單選題
已知兩個不重合的平面
,給定以下條件:
①
內(nèi)不共線的三點(diǎn)到
的距離相等;②
是
內(nèi)的兩條直線,且
;
③
是兩條異面直線,且
;
其中可以判定
的是( )
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:單選題
如圖所示,在正四棱錐S-ABCD中,
是
的中點(diǎn),P點(diǎn)在側(cè)面△SCD內(nèi)及其邊界上運(yùn)動,并且總是保持
.則動點(diǎn)
的軌跡與△
組成的相關(guān)圖形最有可有是圖中的( )
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