Question

13．已知一條曲線(xiàn)C在y軸右邊，C上每一點(diǎn)到點(diǎn)$F（\frac{1}{4}\;，\;\;0）$的距離減去它到y(tǒng)軸距離的差都是$\frac{1}{4}$．點(diǎn)A，B在曲線(xiàn)C上且位于x軸的兩側(cè)，$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=2（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)）．
（Ⅰ）求曲線(xiàn)C的方程；
（Ⅱ）證明：直線(xiàn)AB恒過(guò)定點(diǎn)．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)P（x，y）是曲線(xiàn)C上任意一點(diǎn)，那么點(diǎn)P（x，y）滿(mǎn)足：$\sqrt{{{（x-\frac{1}{4}）}^2}+{y^2}}$-x=$\frac{1}{4}$（x＞0），x＞0，由此能求出曲線(xiàn)C的方程；
（Ⅱ）利用$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=2，A，B兩點(diǎn)位于x軸兩側(cè)，所以y₁y₂＜0，即y₁y₂=-2，再分類(lèi)討論證明：直線(xiàn)AB恒過(guò)定點(diǎn)．

解答 （Ⅰ）解：設(shè)P（x，y）是曲線(xiàn)C上任意一點(diǎn)，
那么點(diǎn)P（x，y）滿(mǎn)足$\sqrt{{{（x-\frac{1}{4}）}^2}+{y^2}}$-x=$\frac{1}{4}$（x＞0），…（2分）
化簡(jiǎn)得y²=x（x＞0）．（不寫(xiě)x＞0扣一分） …（5分）
（Ⅱ）證明：設(shè)A（y₁²，y₁），B（y₂²，y₂），∴$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=y₁y₂+y₁²y₂²=2，…（6分）
解得y₁y₂=1或y₁y₂=-2．
又因?yàn)锳，B兩點(diǎn)位于x軸兩側(cè)，所以y₁y₂＜0，即y₁y₂=-2．…（7分）
①當(dāng)y₁²≠y₂²時(shí)，AB所在直線(xiàn)方程為y-y₁═$\frac{1}{y1+y2}$（x-y₁²），…（8分）
令y=0，得x=-y₁y₂=2，即直線(xiàn)AB過(guò)定點(diǎn) （2，0）． …（10分）
②當(dāng)y₁²=y₂²時(shí)，取y₁=$\sqrt{2}$，y₂=-$\sqrt{2}$，則AB所在直線(xiàn)的方程為x=2，
即直線(xiàn)AB過(guò)定點(diǎn) （2，0）． …（12分）
綜上，直線(xiàn)AB恒過(guò)定點(diǎn)（2，0）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查拋物線(xiàn)的應(yīng)用及過(guò)定點(diǎn)的直線(xiàn)方程定點(diǎn)的求法，考查了綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)和運(yùn)算的能力．