Question

5．已知函數(shù)f（x）=ln（2x+1）-$\frac{2}{3}$x²．
（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間與極值；
（2）若在區(qū)間[1，4]上恒有f（x₀）-C≥0，求C的最大值；
（3）若關(guān)于x的方程f（x）=x²+3x+a在[0，2]上恒有一解，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出f（x）的單調(diào)區(qū)間，求出函數(shù)的極大值即可；
（2）根據(jù)f（x）的單調(diào)性，求出f（x）在[1，4]的最小值，從而求出C的范圍即可；
（3）問(wèn)題轉(zhuǎn)化為ln（2x+1）-$\frac{5}{3}$x²-3x=a在[0，2]上恒有一解，令g（x）=ln（2x+1）-$\frac{5}{3}$x²-3x，求出g（x）在[0，2]的值域即a的范圍即可．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=ln（2x+1）-$\frac{2}{3}$x²，f（x）的定義域是（-$\frac{1}{2}$，+∞），
∴f′（x）=$\frac{2}{2x+1}$-$\frac{4}{3}$x=$\frac{6-{8x}^{2}-4x}{3（2x+1）}$，
令f′（x）＞0，解得：-$\frac{1}{2}$＜x＜-1+$\sqrt{13}$，令f′（x）＜0，解得：x＞-1+$\sqrt{13}$，
∴x=-1+$\sqrt{13}$時(shí)，f（x）取得極大值，此時(shí)f（-1+$\sqrt{13}$）=ln（$\sqrt{13}$-1）-$\frac{4}{3}$（7-$\sqrt{13}$）；
（2）由（1）得：f（x）在[1，-1+$\sqrt{13}$）遞增，在（-1+$\sqrt{13}$，4]遞減，
故函數(shù)f（x）在[1，4]的最小值是f（1）或f（4），而f（1）=ln3-$\frac{2}{3}$＞f（4）=ln9-$\frac{32}{3}$，
若在區(qū)間[1，4]上恒有f（x₀）-C≥0，只需C≤f（x）_min，x∈[1，4]，
故C≤ln9-$\frac{32}{3}$；
（3）若關(guān)于x的方程f（x）=x²+3x+a在[0，2]上恒有一解，
即ln（2x+1）-$\frac{5}{3}$x²-3x=a在[0，2]上恒有一解，
令g（x）=ln（2x+1）-$\frac{5}{3}$x²-3x，
g′（x）=$\frac{2}{2x+1}$-$\frac{10}{3}$x-3=$\frac{-（2{0x}^{2}+28x+3）}{3（2x+1）}$＜0在[0，2]恒成立，
故g（x）在[0，2]遞減，g（x）_max=g（0）=0，g（x）_min=g（2）=ln5-$\frac{38}{3}$，
∴l(xiāng)n5-$\frac{38}{3}$≤a≤0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是一道中檔題．