Question

11．已知數(shù)列{c_n}的通項(xiàng)公式是c_n=a_nb_n，前n項(xiàng)和為T_n，其中{a_n}為首項(xiàng)a₁=1的等差數(shù)列，且a_n＞0，數(shù)列{b_n}為等比數(shù)列，若T_n=（2n-3）•2ⁿ+3．
（1）求數(shù)列{a_n}、{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）是否存在p，q∈N^*，使得$\frac{1}{2}$（a_p+1）²-b_q=2016成立，若存在，求出所有滿足條件的p，q，若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）通過(guò)在T_n=（2n-3）•2ⁿ+3中分別令n=1、2、3，可得數(shù)列{c_n}的前三項(xiàng)的值，利用公差和公比分別表示，計(jì)算可知d=q=2，進(jìn)而計(jì)算可得結(jié)論；
（2）通過(guò)假設(shè)存在滿足條件的p、q∈N^*，代入化簡(jiǎn)可知（p-$2\frac{q-2}{2}$）（p+$2\frac{q-2}{2}$）=1008，通過(guò)分析可知$2\frac{q-2}{2}$只能取1，2，2²，…，2⁹，進(jìn)而篩選可確定p、q的值．

解答 解：（1）∵T_n=（2n-3）•2ⁿ+3，
∴T₁=a₁b₁=1，a₂b₂=T₂-T₁=6，a₃b₃=T₃-T₂=20，
∴（1+d）q=6，（1+2d）q²=20，
整理得：$\frac{36}{（1+d）^{2}}$=q²=$\frac{20}{1+2d}$，
解得：d=2或d=-$\frac{2}{5}$（舍），
從而q=$\frac{6}{1+2}$=2，
∴a_n=1+2（n-1）=2n-1，
b_n=1•2^n-1=2^n-1；
（2）結(jié)論：存在p=32、q=6，使得$\frac{1}{2}$（a_p+1）²-b_q=2016成立．
理由如下：
假設(shè)存在p，q∈N^*，使得$\frac{1}{2}$（a_p+1）²-b_q=2016成立，
則$\frac{1}{2}$（2p-1+1）²-2^q-1=2016，即2p²-2^q-1=2016，
∴p²-2^q-2=1008，即（p-$2\frac{q-2}{2}$）（p+$2\frac{q-2}{2}$）=1008，
又∵p，q∈N^*，
∴$2\frac{q-2}{2}$只能取1，2，2²，…，2⁹，
∴2^q-2只能取1，4，4²，…，4⁹，
又∵p²=2^q-2+4²×63，
∴只有4²+4²×63為平方數(shù)，
此時(shí)，q=6，p=32．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)，考查數(shù)列的遞推式，注意解題方法的積累，屬于中檔題．