【題目】已知函數(shù)f(x)=2lnx+ ﹣2lna﹣k
(1)若k=0,證明f(x)>0
(2)若f(x)≥0,求k的取值范圍;并證明此時(shí)f(x)的極值存在且與a無(wú)關(guān).
【答案】
(1)證明:若k=0,f′(x)= ﹣ = ,
x∈(0, ),f′(x)≥0,f(x)遞減,
x∈[ ,+∞)時(shí),f′(x)≤0,f(x)遞增,
故f(x)min=f( )=2ln +2﹣2lna=2(1﹣ln2)>0,得證
(2)證明:若f(x)=2lnx+ ﹣2lna﹣k ≥0,
變形得2ln + ≥k ,
令 =t(t>0),得 ≥k,
g(t)= ,g′(t)= ,
令k(t)=t﹣tlnt﹣1,k′(t)=﹣lnt,
得k(t)=在(0,1]遞增,在(1,+∞)遞減,
故k(t)≤0,g′(t)≤0,
g(t)在(0,+∞)遞減,t→+∞,g(t)→0,
故g(t)>0,k≤0,
下面證明f(x)的極值存在且與a無(wú)關(guān),
①k=0,f′(x)= ,f(x)極小值=f( )=2ln +2﹣2lna=2(1﹣ln2)與a無(wú)關(guān);
②k<0,f′(x)= ,(其中x1= <0,x2= >0),
故x﹣x1>0且f(x)在x2處取極小值,
f(x2)=2ln + ﹣k ,
∵x2= ,∴ = 是關(guān)于k的函數(shù),(與a無(wú)關(guān)),
故f(x2)與a無(wú)關(guān)
【解析】(1)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式,求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,從而求出函數(shù)的最小值證明結(jié)論即可;(2)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為2ln + ≥k ,令 =t(t>0),得 ≥k,令g(t)= ,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明即可.
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的相關(guān)知識(shí),掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系: 在某個(gè)區(qū)間內(nèi),(1)如果,那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增;(2)如果,那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減,以及對(duì)函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)的理解,了解求函數(shù)的極值的方法是:(1)如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極大值(2)如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù),已知時(shí),.
(1)畫(huà)出偶函數(shù)的圖像;
(2)指出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間及值域;
(3)若直線與函數(shù)恰有個(gè)交點(diǎn),求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某測(cè)試團(tuán)隊(duì)為了研究“飲酒”對(duì)“駕車安全”的影響,隨機(jī)選取100名駕駛員先后在無(wú)酒狀態(tài)、酒后狀態(tài)下進(jìn)行“停車距離”測(cè)試.測(cè)試的方案:電腦模擬駕駛,以某速度勻速行駛,記錄下駕駛員的“停車距離”(駕駛員從看到意外情況到車子完全停下所需要的距離).無(wú)酒狀態(tài)與酒后狀態(tài)下的試驗(yàn)數(shù)據(jù)分別列于表1和表2. 表1
停車距離d(米) | (10,20] | (20,30] | (30,40] | (40,50] | (50,60] |
頻數(shù) | 26 | a | b | 8 | 2 |
表2
平均每毫升血液酒精含量x毫克 | 10 | 30 | 50 | 70 | 90 |
平均停車距離y米 | 30 | 50 | 60 | 70 | 90 |
已知表1數(shù)據(jù)的中位數(shù)估計(jì)值為26,回答以下問(wèn)題.
(Ⅰ)求a,b的值,并估計(jì)駕駛員無(wú)酒狀態(tài)下停車距離的平均數(shù);
(Ⅱ)根據(jù)最小二乘法,由表2的數(shù)據(jù)計(jì)算y關(guān)于x的回歸方程 ;
(Ⅲ)該測(cè)試團(tuán)隊(duì)認(rèn)為:駕駛員酒后駕車的平均“停車距離”y大于(Ⅰ)中無(wú)酒狀態(tài)下的停車距離平均數(shù)的3倍,則認(rèn)定駕駛員是“醉駕”.請(qǐng)根據(jù)(Ⅱ)中的回歸方程,預(yù)測(cè)當(dāng)每毫升血液酒精含量大于多少毫克時(shí)為“醉駕”?
(附:對(duì)于一組數(shù)據(jù)(x1 , y1),(x2 , y2),…,(xn , yn),其回歸直線 的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為 , .)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖半圓柱OO1的底面半徑和高都是1,面ABB1A1是它的軸截面(過(guò)上下底面圓心連線OO1的平面),Q,P分別是上下底面半圓周上一點(diǎn).
(1)證明:三棱錐Q﹣ABP體積VQ﹣ABP≤ ,并指出P和Q滿足什么條件時(shí)有AP⊥BQ
(2)求二面角P﹣AB﹣Q平面角的取值范圍,并說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】曲線C:ρ2﹣2ρcosθ﹣8=0 曲線E: (t是參數(shù))
(1)求曲線C的普通方程,并指出它是什么曲線.
(2)當(dāng)k變化時(shí)指出曲線K是什么曲線以及它恒過(guò)的定點(diǎn)并求曲線E截曲線C所得弦長(zhǎng)的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在多面體ABCDEF中,底面ABCD為正方形,平面AED⊥平面ABCD,AB= EA= ED,EF∥BD
(I)證明:AE⊥CD
(II)在棱ED上是否存在點(diǎn)M,使得直線AM與平面EFBD所成角的正弦值為 ?若存在,確定點(diǎn)M的位置;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】有一個(gè)偶數(shù)組成的數(shù)陣排列如下:
2 4 8 14 22 32 …
6 10 16 24 34 … …
12 18 26 36 … … …
20 28 38 … … … …
30 40 … … … … …
42 … … … … … …
… … … … … … …
則第20行第4列的數(shù)為( )
A. 546 B. 540 C. 592 D. 598
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】數(shù)列{an}中,若存在ak , 使得“ak>ak﹣1且ak>ak+1”成立(其中k≥2,k∈N*),則稱ak為{an}的一個(gè)H值.現(xiàn)有如下數(shù)列:①an=1﹣2n;②an=sinn;③an= ④an=lnn﹣n,則存在H值的數(shù)列有( )個(gè).
A.1
B.2
C.3
D.4
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