Question

如圖，平面ABCD⊥平面BCE，四邊形ABCD為矩形，BC=CE，點(diǎn)F為CE的中點(diǎn)．
（Ⅰ）證明：AE∥平面BDF；
（Ⅱ）點(diǎn)M為CD上的任意一點(diǎn)，在線段AE上是否存在點(diǎn)P，使得PM⊥BE？若存在，確定點(diǎn)P的位置，并加以證明；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面平行的判定,空間中直線與直線之間的位置關(guān)系

專題：

分析：（Ⅰ）連接AC交BD于O，連接OF，利用已知ABCD是矩形得到OF∥AE，再由線面平行的判定定理可證；
（Ⅱ）當(dāng)P為AE中點(diǎn)時(shí)，有PM⊥BE；取BE中點(diǎn)H，連接DP，PH，CH，結(jié)合三角形的中位線性質(zhì)以及面面平行的性質(zhì)進(jìn)行推理得到BE⊥平面DPHC即可．

解答： （Ⅰ）證明：連接AC交BD于O，連接OF，如圖

在△ACE中，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴O為AC的中點(diǎn)，又F為EC的中點(diǎn)，
∴OF∥AE，又OF?平面BDF，AE?平面BDF，
∴AE∥平面BDF．
（Ⅱ）解：當(dāng)P為AE中點(diǎn)時(shí)，有PM⊥BE，
證明如下：取BE中點(diǎn)H，連接DP，PH，CH，
如圖
∵P為AE的中點(diǎn)，H為BE的中點(diǎn)，
∴PH∥AB，又AB∥CD，∴PH∥CD，
∴P，H，C，D四點(diǎn)共面．
∵平面ABCD∥平面BCE，CD⊥BC
∴CD⊥平面BCE，又BE?平面BCE，
∴CD⊥BE∵BC=CE，H為BE的中點(diǎn)，
∴CH⊥BE，
∴BE⊥平面DPHC，又PM?平面DPHC，
∴BE⊥PM即PM⊥BE．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了空間點(diǎn)線面的位置關(guān)系、線面平行和線面垂直的證明，考查了學(xué)生的空間想象能力、推理能力以及轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想．