Question

已知圓C：（x-1）²+（y-2）²=25，直線l：（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0．
（1）求證：無論m為何值，直線l恒過定點(diǎn)（3，1）；
（2）當(dāng)m為何值時(shí)，直線被圓截得的弦最短，最短的弦長是多少？

Answer 1

考點(diǎn)：直線和圓的方程的應(yīng)用

專題：計(jì)算題,直線與圓

分析：（1）通過直線l轉(zhuǎn)化為直線系，求出直線恒過的定點(diǎn)；
（2）說明直線l被圓C截得的弦長最小時(shí)，圓心與定點(diǎn)連線與直線l垂直，求出斜率即可求出m的值，再由勾股定理即可得到最短弦長．

解答： （1）證明：將l的方程整理為（x+y-4）+m（2x+y-7）=0，
由

x+y-4=0 2x+y-7=0

，解得

x=3 y=1

，
則無論m為何值，直線l過定點(diǎn)D（3，1）．
（2）解：因?yàn)椋?-1）²+（1-2）²=5＜25，
則點(diǎn)D在圓C的內(nèi)部，直線l與圓C相交．
圓心C（1，2），半徑為5，|CD|=

(3-1)2+(1-2)2

=

5

，
當(dāng)截得的弦長最小時(shí)，l⊥CD，由于k_CD=

2-1

1-3

=-

1

2

，
則l的斜率為2，即有-

2m+1

m+1

=2，解得m=-

3

4

．
此時(shí)最短弦長為2

52-5

=4

5

，
故當(dāng)m=-

3

4

時(shí)，直線被圓截得的弦最短，最短的弦長是4

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線系方程的應(yīng)用，考查直線與圓的位置關(guān)系，考查平面幾何知識(shí)的運(yùn)用，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．