【題目】如圖,圓C與x軸相切于點T(2,0),與y軸正半軸相交于兩點M,N(點M在點N的下方),且|MN|=3.
(Ⅰ)求圓C的方程;
(Ⅱ)過點M任作一條直線與橢圓 相交于兩點A、B,連接AN、BN,求證:∠ANM=∠BNM.

【答案】解:(Ⅰ)設圓C的半徑為r(r>0),依題意,圓心坐標為(2,r). ∵|MN|=3,∴ ,解得 ,
故圓C的方程為
(Ⅱ)把x=0代入方程 ,解得y=1或y=4,
即點M(0,1),N(0,4).
①當AB⊥y軸時,由橢圓的對稱性可知∠ANM=∠BNM.
②當AB與y軸不垂直時,可設直線AB的方程為y=kx+1.
聯(lián)立方程 ,消去y得,(1+2k2)x2+4kx﹣6=0.
設直線AB交橢圓Γ于A(x1 , y1)、B(x2 , y2)兩點,

=0,
∴∠ANM=∠BNM.
綜上所述,∠ANM=∠BNM.

【解析】(Ⅰ)設圓C的半徑為r(r>0),依題意,圓心坐標為(2,r),根據(jù)|MN|=3,利用弦長公式求得r的值,可得圓C的方程.(Ⅱ)把x=0代入圓C的方程,求得M、N的坐標,當AB⊥y軸時,由橢圓的對稱性可知∠ANM=∠BNM,當AB與y軸不垂直時,可設直線AB的方程為y=kx+1,代入橢圓的方程,利用韋達定理求得KAB+KBN=0,可得∠ANM=∠BNM.
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解圓的標準方程的相關知識,掌握圓的標準方程:;圓心為A(a,b),半徑為r的圓的方程.

練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】已知橢圓方程為,它的一個頂點為,離心率.

(1)求橢圓的方程;

(2)設直線與橢圓交于, 兩點,坐標原點到直線的距離為,求面積的最大值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】已知{an}為等差數(shù)列,公差為d,且0<d<1,a5 (k∈Z),sin2a3+2sina5cosa5=sin2a7 , 函數(shù)f(x)=dsin(wx+4d)(w>0)滿足:在 上單調且存在 ,則w范圍是

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】已知關于x的函數(shù),其導函數(shù).

(1)如果函數(shù)x=1處有極值試確定b、c的值;

(2)設當時,函數(shù)圖象上任一點P處的切線斜率為k,若,求實數(shù)b的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】數(shù)列{an}中,a1=2, (n∈N*).
(1)證明數(shù)列 是等比數(shù)列,并求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)設 ,若數(shù)列{bn}的前n項和是Tn , 求證:

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】在直角坐標系xOy中,以原點O為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標系.若曲線C的極坐標方程為ρcos2θ﹣4sinθ=0,P點的極坐標為 ,在平面直角坐標系中,直線l經(jīng)過點P,斜率為
(Ⅰ)寫出曲線C的直角坐標方程和直線l的參數(shù)方程;
(Ⅱ)設直線l與曲線C相交于A,B兩點,求 的值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】若向量 、 滿足| + |=2,| |=3,則| || |的取值范圍是

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】如圖,在三棱錐PABC中,PAAB,PABC,ABBC,PAABBC=2,D為線段AC的中點,E為線段PC上一點.

(1)求證:PABD

(2)求證:平面BDE平面PAC;

(3)PA平面BDE時,求三棱錐EBCD的體積.

查看答案和解析>>

同步練習冊答案