Question

設(shè)f（x）是定義在R的偶函數(shù)，對(duì)任意x∈R，都有f（x+2）=f（2-x）成立，且當(dāng)x∈[-2，0]時(shí)，f（x）=-1．若關(guān)于x₀的方程f（x）-log_a（x+2）=0在區(qū)間（0，6]內(nèi)恰有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為

1. A.
   （0，1）
2. B.
   （1，2）
3. C.
   （1，）
4. D.
   （，2）

Answer 1

B
分析：先畫(huà)出當(dāng)x∈[-2，0]時(shí)，函數(shù)f（x）的圖象，根據(jù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)畫(huà)出當(dāng)x∈[0，2]時(shí)的函數(shù)f（x）的圖象．
根據(jù)對(duì)任意x∈R，都有f（x+2）=f（2-x）成立，可得出f（x）關(guān)于直線x=2對(duì)稱(chēng)．畫(huà)出函數(shù)y=log_a（x+2）的圖象，關(guān)于x的方程f（x）-log_a（x+2）=0在區(qū)間（0，6]內(nèi)恰有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根等價(jià)于函數(shù)y=f（x）與y=log_a（x+2）=0在區(qū)間（0，6]內(nèi)恰有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，據(jù)此即可求出實(shí)數(shù)a的取值范圍．
解答：（1）①先畫(huà)出當(dāng)x∈[-2，0]時(shí)，函數(shù)f（x）=-1的圖象．
②∵f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，
∴當(dāng)x∈[0，2]時(shí)的函數(shù)f（x）的圖象
與當(dāng)x∈[-2，0]時(shí)，函數(shù)f（x）圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)．
③∵對(duì)任意x∈R，都有f（x+2）=f（2-x）成立，
∴函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x=2對(duì)稱(chēng)．
根據(jù)以上的分析即可畫(huà)出函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[-2，6]上的圖象．
（2）當(dāng)0＜a＜1時(shí)，可知不滿(mǎn)足題意，應(yīng)舍去；
當(dāng)a＞1時(shí)，畫(huà)出函數(shù)y=log_a（x+2）的圖象．
若使函數(shù)y=f（x）與y=log_a（x+2）=0在區(qū)間（0，6]內(nèi)恰有兩個(gè)不同的交點(diǎn)（即關(guān)于x的方程
f（x）-log_a（x+2）=0在區(qū)間（0，6]內(nèi)恰有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根），則實(shí)數(shù)a滿(mǎn)足，log_a（6+2）＞3，∴a³＜8，∴a＜2，
又1＜a，∴1＜a＜2．
故a的取值范圍為1＜a＜2．
故選B．
點(diǎn)評(píng)：熟練掌握函數(shù)的奇偶性、對(duì)稱(chēng)性、單調(diào)性及數(shù)形結(jié)合的思想方法是解題的關(guān)鍵．