Question

給出定義：若x∈（m-

1

2

，m+

1

2

]（其中m為整數(shù)），則m叫做實(shí)數(shù)x的“親密的整數(shù)”，記作{x}，在此基礎(chǔ)上給出下列關(guān)于函數(shù)f（x）=|x-{x}|的四個(gè)命題：
①函數(shù)y=f（x）在x∈（0，1）上是增函數(shù)；
②函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于直線x=

k

2

（k∈z）對(duì)稱；
③函數(shù)y=f（x）是周期函數(shù)，最小正周期為1；
④當(dāng)x∈（0，2]時(shí)，函數(shù)g（x）=f（x）-lnx有兩個(gè)零點(diǎn)．
其中正確命題的序號(hào)是（　　）

Answer 1

分析：①x∈（0，1）時(shí)，m=

1

2

，可得f（x）=|x-{x}|=|x-

1

2

|，從而可得函數(shù)的單調(diào)性；
②利用新定義，可得{k-x}=k-m，從而可得f（k-x）=|k-x-{k-x}|=|k-x-（k-m）|=|x-{x}|=f（x）；
③驗(yàn)證{x+1}={x}+1=m+1，可得f（x+1）=|（x+1）-{x+1}|=|x-{x}|=f（x）；
④由上，在同一坐標(biāo)系中畫(huà)出函數(shù)圖象，即可得到當(dāng)x∈（0，2]時(shí)，函數(shù)g（x）=f（x）-lnx有兩個(gè)零點(diǎn)．

解答：解：①x∈（0，1）時(shí)，m=

1

2

，∴f（x）=|x-{x}|=|x-

1

2

|，函數(shù)在（-∞，

1

2

）上是減函數(shù)，在（

1

2

，+∞）上是增函數(shù)，故①不正確；
②∵x∈（m-

1

2

，m+

1

2

]，∴k-m-

1

2

＜k-x≤k-m+

1

2

（m∈Z）
∴{k-x}=k-m
∴f（k-x）=|k-x-{k-x}|=|k-x-（k-m）|=|x-{x}|=f（x）
∴函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于直線x=

k

2

（k∈z）對(duì)稱，故②正確；
③∵x∈（m-

1

2

，m+

1

2

]，∴-

1

2

＜（x+1）-（m+1）≤

1

2

，
∴{x+1}={x}+1=m+1，∴f（x+1）=|（x+1）-{x+1}|=|x-{x}|=f（x），
∴函數(shù)y=f（x）是周期函數(shù)，最小正周期為1；
④由上，在同一坐標(biāo)系中畫(huà)出函數(shù)圖象：
∴當(dāng)x∈（0，2]時(shí)，函數(shù)g（x）=f（x）-lnx有兩個(gè)零點(diǎn)．
∴正確命題的序號(hào)是②③④
故選A．

點(diǎn)評(píng)：本題為新定義題目，考查了函數(shù)奇偶性，周期性，單調(diào)性，對(duì)稱性的判斷，解題的關(guān)鍵是讀懂定義內(nèi)涵，嘗試探究解決，屬于中檔題．