Question

（本小題滿分13分）

已知橢圓的短軸長為，且與拋物線有共同的焦點，橢圓的左頂點為A，右頂點為，點是橢圓上位于軸上方的動點，直線，與直線分別交于兩點．

   （I）求橢圓的方程；

   （Ⅱ）求線段的長度的最小值；

（Ⅲ）在線段的長度取得最小值時，橢圓上是否存在一點，使得的面積為，若存在求出點的坐標，若不存在，說明理由．

Answer 1

（本小題滿分13分）

解：（I）由已知得，拋物線的焦點為，則，又．

由，可得．

 故橢圓的方程為．…………………………………………4分

（Ⅱ）直線的斜率顯然存在，且，故可設直線的方程為，從而．

由得．………………………………6分

設，則 ． 所以，從而．

即又，

則直線的斜率為．

由     得

所以．

故．

又，  ．

當且僅當，即時等號成立．

所以當時，線段的長度取最小值．…………………………………………8分

（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，當的長度取最小值時，．

 則直線的方程為，此時，．

若橢圓上存在點，使得的面積等于，則點到直線的距離等于，

所以在平行于且與距離等于的直線上．

設直線．

則由  得．………………………………………10分

．即．

由平行線間的距離公式，得 ，

解得或（舍去）．

可求得或．…………………………………………13分