Question

某次象棋比賽的決賽在甲乙兩名棋手之間舉行，比賽采用積分制，比賽規(guī)則規(guī)定贏一局得2分，平一局得1分，輸一局得0分．根據(jù)以往經(jīng)驗，每局甲贏的概率為

1

2

，乙贏的概率為

1

3

，且每局比賽輸贏互不影響．若甲第n局的得分記為a_n，令A(yù)_n=a₁+a₂+…+a_n．
（Ⅰ）求A₃=5的概率；
（Ⅱ）若規(guī)定：當(dāng)其中一方的積分達(dá)到或超過4分時，比賽結(jié)束，否則，繼續(xù)進(jìn)行下一局比賽．設(shè)隨機(jī)變量ξ表示此次比賽總共進(jìn)行的局?jǐn)?shù)，求ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差,互斥事件的概率加法公式

專題：概率與統(tǒng)計

分析：（Ⅰ）由題意可知A₃=5，即前3局甲2勝1平，然后由獨(dú)立重復(fù)試驗的計算公式求解A₃=5的概率；
（Ⅱ）設(shè)乙第n局的得分記為b_n，令B_n=b₁+b₂+…+b_n，可知a_n+b_n=2，由題意可知ξ的可能取值有2，3，4，由互斥事件和獨(dú)立重復(fù)試驗的概率公式求得概率后即可得到ξ的分布列，代入期望公式求期望．

解答： 解：（Ⅰ）A₃=5，即前3局甲2勝1平．
由已知甲贏的概率為

1

2

，甲輸?shù)母怕蕿?span id="3f1vf19" class="MathJye">

1

3

，則平局的概率為

1

6

，
∴A₃=5的概率為

C

2 3

(

1

2

)2(

1

6

)=

1

8

；
（Ⅱ）設(shè)乙第n局的得分記為b_n，
令B_n=b₁+b₂+…+b_n，可知a_n+b_n=2，
ξ的可能取值有2，3，4．
P(ξ=2)=P(A2=4)+P(B2=4)=(

1

2

)2+(

1

3

)2=

13

36

．
P（ξ=3）=P（A₃=4）+P（B₃=4）
=[

C

1 2

×(

1

2

)2×

1

3

+

C

1 2

×

1

2

×

1

6

×(1-

1

3

)+(

1

6

)2×

1

2

]
+[

C

1 2

×(

1

3

)2×

1

2

+

C

1 2

×

1

3

×

1

6

×(1-

1

2

)+(

1

6

)2×

1

3

]=

101

216

．
P(ξ=4)=1-P(ξ=2)-P(ξ=3)=

37

216

．
ξ的分布列為：

ξ	2	3	4
P	13 36	101 216	37 216

∴Eξ=2×

13

36

+3×

101

216

+4×

37

216

=

607

216

．

點(diǎn)評：本題考查互斥事件的概率加法公式及獨(dú)立重復(fù)試驗的概率計算公式，考查了離散型隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望的求法，關(guān)鍵是對題意的理解，屬中高檔題．