Question

15．已知兩定點(diǎn)A（-2，0）和B（2，0），動(dòng)點(diǎn)P（x，y）在直線l：y=x+3移動(dòng)，橢圓C以A，B為焦點(diǎn)且經(jīng)過點(diǎn)P，則橢圓C的離心率的最大值為$\frac{2\sqrt{26}}{13}$．

Answer 1

分析 設(shè)點(diǎn)A關(guān)于直線l：x-y+3=0的對(duì)稱點(diǎn)為C，求出C的坐標(biāo)，由兩點(diǎn)間的距離公式求得|BC|，再由離心率公式，計(jì)算可得最大值．

解答 解：如圖，設(shè)點(diǎn)A關(guān)于直線l：x-y+3=0的對(duì)稱點(diǎn)為C，
連接BC交直線l于P₀，
根據(jù)平面幾何知識(shí)可得：當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P與點(diǎn)P₀重合時(shí)，
|PA|+|PB|取得最小值．
設(shè)C（m，n），則有$\left\{\begin{array}{l}{\frac{n}{m+2}=-1}\\{\frac{m-2}{2}-\frac{n}{2}+3=0}\end{array}\right.$，
解得m=-3，n=1．
即有C的坐標(biāo)為（-3，1），
得|PA|+|PB|取得最小值為|CB|=$\sqrt{（-3-2）^{2}+（1-0）^{2}}$=$\sqrt{26}$，
則橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)的最小值為$\sqrt{26}$，
則橢圓的離心率e=$\frac{2c}{2a}$的最大值為$\frac{4}{\sqrt{26}}$=$\frac{2\sqrt{26}}{13}$．
故答案為：$\frac{{2\sqrt{26}}}{13}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)：離心率，著重考查了點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱點(diǎn)、直線上的點(diǎn)到兩定點(diǎn)距離最小值的求法等知識(shí)，屬于中檔題．